Question

（2013•普陀區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA．則：
（1）當t=

2秒或3秒

時，△DPA為直角三角形；
（2）點D的運動路線總長為

2

5

．

Answer 1

分析：（1）設出P點坐標，再求出CP的中點坐標，根據(jù)相似的性質即可求出D點坐標，先判斷出可能為直角的角，再根據(jù)勾股定理求解，
（2）當點P與點O重合時，CO的中點繞點P旋轉后的對應點為D₁，點P與點A重合時，CA中點繞P點旋轉后的對應點為D₂，求出直線D₁D₂的解析式，進而得出點D在直線D₁D₂上，即D點運動的路線是一條線段，起點是D₁（1，0），終點是D₂（5，2），利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
設CP的中點為F，
則F點的坐標為（

t

2

，1），
∴將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，其坐標為（t+1，

t

2

）；
①當∠PDA=90°時，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（

t

2

）²+1+（4-t-1）²+（

t

2

）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②當∠PAD=90°時，此時點D在AB上，

∵∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠DPA=90°，
∵∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠OPC，
又∵∠COP=∠PAD，
∴△COP∽△PAD，
∴

CP

PD

=

CO

PA

，
∴

2

1

=

2

PA

，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
綜上，可知當t為2秒或3秒時，△DPA能成為直角三角形．
故答案為：2秒或3秒；

（2）當點P與點O重合時，CO的中點繞點P旋轉后的對應點為D₁，點P與點A重合時，CA中點繞P點旋轉后的對應點為D₂，
，
∵OA=4，OC=2，則D₁（1，0），D₂（5，2），
設直線D₁D₂的解析式為y=kx+b，所以

k+b=0 5k+b=2

，
解得：

k= 1 2 b=- 1 2

，
∴直線D₁D₂的解析式為y=

1

2

x-

1

2

將D點坐標代入到解析式中，y=

1

2

×（t+1）-

1

2

=

1

2

t，
∴點D在直線D₁D₂上，即D點運動的路線是一條線段，起點是D₁（1，0），終點是D₂（5，2），
∴D₁D₂=

42+22

=2

5

，
∴點D運動路線的長度為：2

5

．
故答案為：2

5

．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及幾何變換綜合題，是動點問題在實際生活中的運用，結合了函數(shù)、直角三角形的相關性質，具有一定的綜合性．