Question

（2013•柳州）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（5，0），（3，-4）．        
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)y＞-3，寫出x的取值范圍； 
（3）A、B為直線y=-2x-6上兩動(dòng)點(diǎn)，且距離為2，點(diǎn)C為二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)△ABC的面積最��？求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）求出y=3時(shí)x的值，結(jié)合函數(shù)圖象，求出y＞-3時(shí)x的取值范圍；
（3）△ABC的底邊AB長(zhǎng)度為2，是定值，因此當(dāng)AB邊上的高最小時(shí)，△ABC的面積最�。�如解答圖所示，由點(diǎn)C向直線y=-2x-6作垂線，利用三角函數(shù)（或相似三角形）求出高CE的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出CE的最小值，這樣問題得解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)（1，0），（5，0），（3，-4）在拋物線上，
∴

a+b+c=0 25a+5b+c=0 9a+3b+c=-4

，
解得

a=1 b=-6 c=5

．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-6x+5．

（2）在y=x²-6x+5中，令y=-3，即x²-6x+5=-3，
整理得：x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4．
結(jié)合函數(shù)圖象，可知當(dāng)y＞-3時(shí)，x的取值范圍是：x＜2或x＞4．

（3）設(shè)直線y=-2x-6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，點(diǎn)N，
令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-3
∴M（-3，0），N（0，-6），
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=3

5

，
∴tan∠MNO=

OM

ON

=

1

2

，sin∠MNO=

OM

MN

=

5

5

．
設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），則y=x²-6x+5．
過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則CD=x，OD=-y，DN=6+y．
過點(diǎn)C作直線y=-2x-6的垂線，垂足為E，交y軸于點(diǎn)F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=

1

2

x，CF=

DF

sin∠DCF

=

DF

sin∠MNO

=

1 2 x

5 5

=

5

2

x．
∴FN=DN-DF=6+y-

1

2

x．
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=

5

5

（6+y-

1

2

x）．
∴CE=CF+EF=

5

2

x+

5

5

（6+y-

1

2

x），
∵C（x，y）在拋物線上，∴y=x²-6x+5，代入上式整理得：
CE=

5

5

（x²-4x+11）=

5

5

（x-2）²+

7 5

5

，
∴當(dāng)x=2時(shí)，CE有最小值，最小值為

7 5

5

．
當(dāng)x=2時(shí)，y=x²-6x+5=-3，∴C（2，-3）．
△ABC的最小面積為：

1

2

AB•CE=

1

2

×2×

7 5

5

=

7 5

5

．
∴當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）時(shí)，△ABC的面積最小，面積的最小值為

7 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解直角三角形（或相似三角形）等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問，確定高CE的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵所在；本問的另一解法是：直線y=-2x+k與拋物線y=x²-6x+5相切時(shí)，切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C，同學(xué)們可以嘗試此思路，以求觸類旁通、舉一反三．