Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N設(shè)AP=x。

（1）在△ABC中，AB＝               ；

（2）當(dāng)x＝      時(shí)，矩形PMCN的周長(zhǎng)是14；

（3）是否存在x的值，使得△PAM的面積、△PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等？請(qǐng)說(shuō)出你的判斷，并加以說(shuō)明。

 

Answer 1

【答案】

（1）10；（2）5；（3）不存在

【解析】

試題分析：（1）仔細(xì)分析題意利用勾股定理求解即可；

（2）利用MP∥BC和NP∥AC，可得到，，將AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x

代入式中就能得到PM和PN關(guān)于x的表達(dá)式．再由矩形周長(zhǎng)=2（PM+PN），求出x的值．

（3）當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，△PAM的面積與△PBN的面積才相等，再求出矩形PMCN的面積，進(jìn)行判斷．

（1）∵△ABC為直角三角形，且AC=8，BC=6，

（2））∵PM⊥AC  PN⊥BC

∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一條直線的兩條直線平行），

∴，

∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，

∴矩形PMCN周長(zhǎng)=2（PM+PN）=2（x+8-x）=14，解得x=5；

（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，

∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.

∴AC∥PN，∠A=∠NPB.

∴△AMP∽△PNB∽△ABC.

當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，可得△AMP≌△PNB

此時(shí)S_△AMP=S_△PNB=×4×3=6

而S_矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.

所以不存在x的值，能使△AMP的面積、△PNB的面積與矩形PMCN面積同時(shí)相等.

考點(diǎn)：相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的面積公式

點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．