Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=x²-4的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．直線x=m（m＞2）與x軸交于點D．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）在直線x=m（m＞2）上有一點P（點P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=x²-4上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）y=x²-4，
x=0時，y=-4，
y=0時，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-4），
答：A、B、C三點的坐標分別是（-2，0），（2，0），（0，-4）．

（2）設P（m，y），
∵以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，
∠PDB=∠BOC=90°，BD=m-2，DP=y，OD=4，OB=2，
只要=或=就行，
代入得：=或 =，
解得：y=m-，y=2m-4
∴P（m，m-），（m，2m-4），
答：P的坐標是（m，m-），（m，2m-4）．

（3）∵平行四邊形ABPQ，
∴PQ=AB=4，
則Q的坐標是（m-4，m-）或（m-4，2m-4），
代入y=x²-4得：m-=（m-4）²-4或2m-4=（m-4）²-4，
解得：m₁=＞4，m₂=＜4（舍去），m₃=2＜4（舍去），m₄=8＞4，
答：拋物線y=x²-4上存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，m的值是或8．
分析：（1）把x=0，y=0分別代入求出y、x即可；
（2）設P（m，y），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出y即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AB=4，求出Q的坐標，代入拋物線的解析式，求出m即可．
點評：此題主要考查了對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．