Question

（2012•佛山）如圖，把一個(gè)斜邊長為2且含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A₁B₁C，則在旋轉(zhuǎn)過程中這個(gè)三角板掃過的圖形的面積是（　�。�

• A．π
• B．

  3

• C．

  3π

  4

  +

  3

  2

• D．

  11π

  12

  +

  3

  4

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC、AC的長度，設(shè)點(diǎn)B掃過的路線與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，可以證明△BCD是等邊三角形，然后求出點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以△ACD的面積等于△ABC的面積的一半，然后根據(jù)△ABC掃過的面積=S_扇形ACA1+S_扇形BCD+S_△ACD，然后根據(jù)扇形的面積公式與三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，
∴BC=

1

2

AB=1，∠B=90°-∠BAC=60°，
∴AC=

AB2-BC2

=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AC=

3

2

，
設(shè)點(diǎn)B掃過的路線與AB的交點(diǎn)為D，連接CD，
∵BC=DC，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD=CD=1，
∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

3

2

=

3

4

，
∴△ABC掃過的面積=S_扇形ACA1+S_扇形BCD+S_△ACD，
=

90

360

×π×（

3

）²+

60

360

×π×1²+

3

4

，
=

3

4

π+

1

6

π+

3

4

，
=

11

12

π+

3

4

．
故選D．

點(diǎn)評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想把掃過的面積分成兩個(gè)扇形的面積與一個(gè)三角形面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．