Question

命題（*）：設(shè)a，b，c是非負(fù)實(shí)數(shù)，如果a⁴+b⁴+c⁴≤2（a²b²+b²c²+c²a²），則a²+b²+c²≤2（ab+bc+ca）
（1）證明命題（*）是正確的；
（2）試寫出命題（*）的逆命題，并判定你寫出的逆命題是否是真命題，寫出理由．

Answer 1

分析：（1）不妨設(shè)a、b、c中a為最大，運(yùn)用比差法進(jìn)行證明即可，（2）首先寫出逆命題，然后利用代值法進(jìn)行判斷．

解答：證明：（1）不妨設(shè)a、b、c中a為最大．
因?yàn)?（a²b²+b²c²+c²a²）-（a⁴+b⁴+c⁴）=（2ab）²-（a²+b²-c²）²≥0，
所以2ab≥a²+b²-c²，
a²+b²+c²=（a²+b²-c²）+2c²≤2ab+2c²≤2（ab+bc+ca）；

（2）（*）的逆命題：設(shè)a、b、c是非負(fù)實(shí)數(shù)．如果a²+b²+c²≤2（ab+bc+ca），
則a⁴+b⁴+c⁴≤2（a²b²+b²c²+c²a²），
這逆命題不真，例如a=4，b=c=1時(shí)，
a²+b²+c²=2（ab+bc+ca）=18，
而a⁴+b⁴+c⁴=258＞2（a²b²+b²c²+c²a²）=66．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式的等式證明的知識(shí)點(diǎn)，本題難度較大，運(yùn)用比差法和特殊值法師解答本題的關(guān)鍵．