Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B為反比例函數(shù)的圖像上兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為1，將的圖像繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’．

（1）點(diǎn)A’的坐標(biāo)是　　 ，點(diǎn)B’的坐標(biāo)是　　 ；

（2）在x軸上取一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 此時(shí)在反比例函數(shù)的圖像上是否存在一點(diǎn)Q，使△A’B’Q的面積與△PAB的面積相等，若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）連接AB’，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段AB’以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B’運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從B’點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段B’A’以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A’運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，試探究：是否存在使△MNB’為等腰直角三角形的t值．若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）(4，﹣1)，(1，﹣4)；（2）存在，；（3）存在，8﹣8

【解析】

（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（2）由題意A和B′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，B和A′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，連接BB′交x軸于P，連接AP，此時(shí)PA+PB的值最小，因?yàn)橹本�(xiàn)BB′的解析式為，根據(jù)A′B′的解析式得到p點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用面積相等求出PQ的解析式，解方程組即可得到答案；

（3）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題；

解：（1）∵點(diǎn)A、B為反比例函數(shù)的圖像上兩點(diǎn)，

A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為1，

∴得到：A（1，4），B（4，1），

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知（4，-1），（1，-4）；
故答案為（4，-1），（1，-4）；

（2）∵A（1，4），B（4，1），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知（4，-1），（1，-4），
∴A和關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，B和關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
連接BB′交x軸于P，連接AP，此時(shí)PA+PB的值最小，

∵直線(xiàn)BB′的解析式為，

∴P（，0），

過(guò)點(diǎn)P作PQ∥A′B′交y＝于Q，如圖

∴S△PA’B’＝S△QA’B’，

∴直線(xiàn)PQ的解析式為y＝x﹣，

根據(jù)，消去y得到：，

解得或者（舍去）

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為.

（3）如圖：

①當(dāng)時(shí)，，

∴8﹣t＝t，

∴解得：t＝8﹣8．

②當(dāng)時(shí)，

∴t＝（8﹣t），

∴解得：t＝16﹣8（不合題意），

綜上，t＝()s時(shí)，是等腰直角三角形．