Question

以△ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．
（1）如圖①當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是______，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）將圖①中的等腰Rt△ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ°（0＜θ＜90）后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．延長AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再結(jié)合已知條件可以證明△DAE≌△ABG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延長MG交DE于H，因?yàn)椤螧AG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°這樣就證明了AM⊥ED；
（2）延長CA至F，使FA=AC，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF，證出△FAB≌△EAD，利用相似三角形的性質(zhì)得到BF=DE，∠F=∠AEN，從而證出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB⊥DE，根據(jù)AM∥FB，可得到AM=FB．
解答：（1）ED=2AM，AM⊥ED；
證明：延長AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再延長MA交DE于H．
∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABG=∠DAE．
再證：△DAE≌△ABG
∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．
延長MN交DE于H，
∵∠BAG+∠DAH=90°，
∴∠HDA+∠DAH=90°．
∴AM⊥ED．

（2）結(jié)論仍然成立．
證明：如圖，延長CA至F，使FA=AC，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF．
∵DA⊥BA，EA⊥AF，
∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．
∵在△FAB和△EAD中，

∴△FAB≌△EAD（SAS）
∴BF=DE，∠F=∠AEN，
∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．
∴FB⊥DE．
又∵CA=AF，CM=MB．
∴AM∥FB，且AM=FB，
∴AM⊥DE，AM=DE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性找到三角形全等的條件．此題綜合性較強(qiáng)，要注意觀察圖象的特點(diǎn)．