Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，AD=2，AE=1，求S_△BCD．

Answer 1

【答案】分析：由AC與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD與AC垂直，可得出三角形AOD為直角三角形，設(shè)OD=OE=x，用AO=AE+EO，由AE的長及設(shè)出的OE表示出OA，再由AD的長，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OD，EB，AO及AB的長，過點D作DF垂直于AB，由直角三角形AOD的面積由斜邊OA與DF乘積的一半來求，也可以由AD與DO乘積的一半來求，進(jìn)而求出DF的長，即為三角形ADB中AB邊上的高，求出三角形ADB的面積，再由∠ABC=90°，判定出BC為圓的切線，又CD也為圓的切線，根據(jù)切線長定理得到CD=CB，可設(shè)CD=CB=y，表示出AC，再由AB的長，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出關(guān)于y的方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，確定出CB的長，利用兩直角邊AB及BC乘積的一半求出三角形ABC的面積，用三角形ABC的面積減去三角形ABD的面積，即可求出三角形BCD的面積．
解答：解：∵AC與圓O相切，且D為切點，
∴OD⊥AC，
在直角三角形AOD中，AD=2，AE=1，
設(shè)OD=x，OA=AE+EO=1+x，
根據(jù)勾股定理得：OA²=AD²+OD²，即（1+x）²=2²+x²，
解得：x=1.5，
∴OD=1.5，EB=3，AO=2.5，AB=AE+EB=1+3=4，
過點D作DF⊥AB，如圖所示：

∴S_△ADO=AD•DO=AO•DF，
∴DF==1.2，
∴S_△ADB=AB•DF=2.4，
∵∠ABC=90°，
∴BC與圓O相切，又CD與圓O相切，
∴CB=CD，
在直角三角形ABC中，設(shè)CB=CD=y，
∴AC=AD+DC=2+y，AB=4，
根據(jù)勾股定理得：AC²=AB²+BC²，即（2+y）²=4²+y²，
解得：y=3，
∴CB=CD=3，
∴S_△ABC=AB•BC=6，
則S_△BCD=S_△ABC-S_△ADB=6-2.4=3.6．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形面積的求法，以及切線長定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．