Question

（1）求證：不論m為何值，關(guān)于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
（2）二次函數(shù)y=2x²-4mx+m²-1的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）請(qǐng)你根據(jù)前兩問(wèn)得到的啟示，利用二次函數(shù)y=2x²-4x+1的圖象，求出x取何值時(shí)y＞0．

Answer 1

分析：（1）先把關(guān)于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）化為一元二次方程的一般形式，再根據(jù)△＞0時(shí)方程由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到關(guān)于m的不等式，求出m的值即可；
（2）先求出△的表達(dá)式，再根據(jù)△的取值范圍即可作出判斷；
（3）先判斷出拋物線的開(kāi)口方向，再求出拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象在x軸上方時(shí)y＞0即可解答．

解答：解：（1）原方程可化為：2x²-4mx+m²-1=0，
∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴關(guān)于x的方程2x（x-2m）=（1-m）（1+m）總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵△=（-4m）²-4×2（m²-1）=8m²+8＞0，
∴二次函數(shù)y=2x²-4mx+m²-1的圖象與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（3）∵二次函數(shù)y=2x²-4x+1中，a=2＞0，
∴此函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，
∵x=

-b± b2-4ac

2a

=

4± (-4)2-4×2

2×2

=1±

2

2

，
∴二次函數(shù)y=2x²-4x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)為（1+

2

2

，0），（1-

2

2

，0），
∴當(dāng)x＞1+

2

2

或x＜

2

2

時(shí)y＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，能把二次函數(shù)的解與解一元二次方程結(jié)合起來(lái)是解答此題的關(guān)鍵．