Question

已知：拋物線y=ax²-4ax+m與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）．
（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，且△ABC的面積為3，求此拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)D是（2）中開(kāi)口向下的拋物線的頂點(diǎn)．拋物線上點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為Q，把點(diǎn)D沿對(duì)稱軸向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P；點(diǎn)M、N分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PQMN的周長(zhǎng)最短時(shí)，求PN+MN+QM的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的動(dòng)對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即可求得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再結(jié)合△ABC的面積為3的條件便可求出拋物線的解析式；
（3）先根據(jù)題意求出D、Q、P三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步解答便可求出當(dāng)四邊形PQMN的周長(zhǎng)最短時(shí)，PN+MN+QM的長(zhǎng)．

解答：解：（1）依題意，拋物線的對(duì)稱軸為x=2．
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0），
∴由拋物線的對(duì)稱性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；（1分）

（2）∵拋物線y=ax²-4ax+m與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0），

∴a•12-4a×1+m=0 m=3a y=ax2-4ax+3a

，
∴C（0，3a）．（2分）
∵△ABC的面積為3，
AB=2，OC=|3a|，
S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2•OC=OC=3．
∴|3a|=3．
∴a=±1，m=±3．
∴所求拋物線的解析式為y=x²-4x+3或y=-x²+4x-3；（4分）

（3）依題意知，拋物線的解析式為．y=-x²+4x-3，
∴點(diǎn)D（2，1），C（0，-3），P（2，-4）．
設(shè)Q（x，y），
∵點(diǎn)C與點(diǎn)Q關(guān)于x=2對(duì)稱，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（4，-3）．（6分）
分別作P、Q關(guān)于y軸、x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′、Q′，
連接P′Q′，分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、N．
連接PN、MQ，則此時(shí)四邊形PQMN的周長(zhǎng)最短．（7分）
∴P′（-2，-4），Q′（4，3）．
過(guò)P′作P′E垂直Q′E于E．∴E（4，-4）．
∴P′E=6，Q′E=7，
由作圖可知，PN=P′N，QM=Q′M．
∴PN+MN+QM=P’N+MN+Q′M=P′Q′=

62+72

=

85

．
∴PN+MN+QM的長(zhǎng)為

85

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．