Question

（1997•北京）已知：如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系xOy中，使OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，連接AC，將△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在該坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)這個(gè)落點(diǎn)為D，CD交x軸于點(diǎn)E．如果CE=5，OC、OE的長是關(guān)于x的方程x²+（m-1）x+12=0的兩個(gè)根，并且OC＞OE．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，判斷點(diǎn)（8，-20）是否在過D、F兩點(diǎn)的直線上，并說明現(xiàn)由．

Answer 1

分析：（1）由于OC、OE的長是關(guān)于x的方程x²+（m-1）x+12=0的兩個(gè)根，故可設(shè)OC=x₁，OE=x₂，x₁＞x₂．由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x₁+x₂=-（m-1）．x₁•x₂=12．在Rt△COE中，由勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，求出m的值，故可得出x的值，進(jìn)而得出OC，OE的長．再根據(jù)△ABC沿AC翻折后，點(diǎn)B的落點(diǎn)為點(diǎn)D．過D點(diǎn)作DG⊥x軸于G．DH⊥y軸于H．由反折變換的性質(zhì)得出∠BCA=∠ACD．在矩形OABC中，CB∥OA，所以∠BCA=∠CAE．∠CAE=∠ACD．故EC=EA．由HL定理判斷出Rt△COE≌Rt△ADE．在Rt△ADE中由DG•AE=ED•AD，
可得出DG的長，在△CHD中，因?yàn)镺E∥HD，所以

CE

CD

=

CE

HD

可得出HD的長，再根據(jù)D是第四象限的點(diǎn)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)F是AC的中點(diǎn)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)過D、F兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b（k≠0）．把D、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出kb的值，故可得出其解析式，再把x=8，y=-20代入進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

解答：解：（1）∵OC、OE的長是關(guān)于x的方程x²+（m-1）x+12=0的兩個(gè)根，
設(shè)OC=x₁，OE=x₂，x₁＞x₂．
∴x₁+x₂=-（m-1）．x₁•x₂=12．
在Rt△COE中，
∵OC²+OE²=CE²，CE=5．
∴x₁²+x₂²=5²，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25．
∴[-（m-1）]²-2×12=25，
解這個(gè)方程，得m₁=-6，m₂=8．
∵OC+OE=x₁+x₂=-（m-1）＞0，
∴m=8不符合題意，舍去．
∴m=-6．
解方程x²-7x+12=0，得
x₁=4，x₂=3．
∴OC=4，OE=3．
△ABC沿AC翻折后，點(diǎn)B的落點(diǎn)為點(diǎn)D．過D點(diǎn)作DG⊥x軸于G．DH⊥y軸于H．
∴∠BCA=∠ACD．
∵矩形OABC中，CB∥OA．
∴∠BCA=∠CAE．
∴∠CAE=∠ACD．
∴EC=EA．
在Rt△COE與Rt△ADE中，
∵

OC=AD EC=EA

∴Rt△COE≌Rt△ADE．
∴ED=3，AD=4，EA=5．
在Rt△ADE中，DG•AE=ED•AD，
∴DG=

ED•AD

AE

=

12

5

，
在△CHD中，OE∥HD，
∴

CE

CD

=

CE

HD

，

5

5+3

=

3

HD

，
∴HD=

24

5

，
由已知條件可知D是第四象限的點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

24

5

，-

12

5

）；

（2）∵F是AC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，2），
設(shè)過D、F兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b．
∴

4k+b=2 24 5 k+b=- 12 5

，解得

k=- 11 2 b=24

，
∴過點(diǎn)D、F兩點(diǎn)的直線的解析式為y=-

11

2

x+24，
∵x=8，y=-20滿足上述解析式，
∴點(diǎn)（8，-20）在過D、F兩點(diǎn)的直線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到圖形反折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等相關(guān)知識(shí)，難度適中．