Question

平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸的正半軸交于點C，點 A的坐標為(1, 0)，OB=OC，拋物線的頂點為D．

  (1) 求此拋物線的解析式；

  (2) 若此拋物線的對稱軸上的點P滿足∠APB=∠ACB，求點P的坐標；

    (3) Q為線段BD上一點，點A關于∠AQB的平分線的對稱點為，若，求點Q的坐標和此時△的面積．

 

Answer 1

解：（1）∵ ，

∴ 拋物線的對稱軸為直線．

∵ 拋物線與x軸交于

   點A、點B，點A的坐標為，

∴ 點B的坐標為，OB＝3．…………… 1分

可得該拋物線的解析式為．

∵ OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點C，

∴ OC=3，點C的坐標為．

將點C的坐標代入該解析式，解得a=1．……2分

∴ 此拋物線的解析式為．（如圖9）

       （2）作△ABC的外接圓☉E，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為點F，設☉E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點，點關于x軸的對稱點為點，點、點均為所求點.（如圖10）

            可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上．

∵ 、都是弧AB所對的圓周角，

∴ ，且射線FE上的其它點P都不滿足．

由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．

可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線上．

            ∴ 點E的坐標為．………………………………………………… 4分

∴ 由勾股定理得 ．

∴ ．

∴ 點的坐標為．…………………………………………… 5分

由對稱性得點的坐標為． ……………………………… 6分

∴符合題意的點P的坐標為、.

（3）∵ 點B、D的坐標分別為、，

可得直線BD的解析式為，直線BD與x軸所夾的銳角為45°．

∵ 點A關于∠AQB的平分線的對稱點為，（如圖11）

若設與∠AQB的平分線的交點為M，

則有 ，，，Q，B，三點在一條直線上．

∵ ，

∴

作⊥x軸于點N．

∵ 點Q在線段BD上， Q，B，三點在一條直線上，

∴ ，．

∴ 點的坐標為．

∵ 點Q在線段BD上，

∴ 設點Q的坐標為，其中．

∵ ，

∴ 由勾股定理得 ．

解得．

經(jīng)檢驗，在的范圍內(nèi)．

∴ 點Q的坐標為． …………………………………………… 7分

此時．… 8分