Question

如圖，⊙O₁與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)A，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB、AC分別交⊙O₁于點(diǎn)E和F，BD切⊙O₁于點(diǎn)D，且FD是⊙O₁的直徑，延長FE交BD于點(diǎn)H．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若∠DBC=60°，，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)A作兩圓的公切線MN，根據(jù)切割線定理可得出∠EFA=∠BCA，繼而可證明結(jié)論EF∥BC；
（2）連接DE并延長交BC于點(diǎn)G，DH=4k，則HB=5k，DB=9k，根據(jù)∠DBC=60°利用解直角三角形的知識，可得出BG、DG的長度，然后表示出BE的長度，根據(jù)=1-，即可得出答案．
解答：證明：（1）如圖，過點(diǎn)A作兩圓的公切線MN，
∵∠EFA=∠EAM，∠BCA=∠BAM，
∴∠EFA=∠BCA，
∴EF∥BC．

（2）由條件，不妨設(shè)DH=4k，
則HB=5k，DB=9k，
連接DE并延長交BC于點(diǎn)G，
∵DF為⊙O₁的直徑，
∴DE⊥HF，∠DEH=90°，
∵EF∥BC．
∴∠DGB=∠DEH=90°，
∴==，
而∠DBG=60°，
∴BG=DB=k，DG=DB=k，
∴EG=DG=k，
在Rt△BGE中，BE²=BG²+EG²=39k²，
∵BD是⊙O₁的切線，
∴BD²=BE•BA，
∴===，
∴=1-=．
點(diǎn)評：本題屬于圓的綜合題，涉及了切割線定理、平行線的判定、勾股定理及切線的性質(zhì)，考察的知識點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是要求同學(xué)們熟練掌握所學(xué)的定理及性質(zhì)，對于這樣的綜合性題目，除了要求我們仔細(xì)思考之外，更考察我們的靈活運(yùn)用能力．