Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙M過原點O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點C為劣弧AO的中點，連接AC并延長到D，使DC=4CA，連接BD．

（1）求⊙M的半徑；

（2）證明：BD為⊙M的切線；

（3）在直線MC上找一點P，使|DP﹣AP|最大．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）取點A關于直線MC的對稱點O，連接DO并延長交直線MC于P，此P點為所求，且線段DO的長為|DP﹣AP|的最大值，為．

【解析】（1）∵由題意可得出：OA²+OB²=AB²，AO=4，BO=3，∴AB=5．∴圓的半徑為．

（2）由題意可得出：M（2，）．∵C為劣弧AO的中點，由垂徑定理且 MC=，故 C（2，﹣1）．如答圖1，過 D 作 DH⊥x 軸于 H，設 MC 與 x 軸交于 N，則△ACN∽△ADH，又∵DC=4AC，∴ DH=5NC=5，HA=5NA=10．∴D（﹣6，﹣5）．

設直線BD表達式為：y=ax+b，則，解得：．∴直線BD表達式為：y=x+3．

設 BD 與 x 軸交于Q，則Q（）．∴OQ=．∴．

∵，∴．∴△ABQ是直角三角形，即∠ABQ=90°．

∴BD⊥AB，BD為⊙M的切線．

（3）如答圖2，取點A關于直線MC的對稱點O，連接DO并延長交直線MC于P，此P點為所求，且線段DO的長為|DP﹣AP|的最大值．

設直線DO表達式為 y=kx，∴﹣5=﹣6k，解得：k=．∴直線DO表達式為 y=x

又∵在直線DO上的點P的橫坐標為2，∴y=．∴P（2，）．此時|DP﹣AP|=DO=．