Question

已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當(dāng)k=-1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點A時兩點同時停止運動（如圖1）．
①直接寫出t=1秒時C、Q兩點的坐標(biāo)；
②若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值．
（2）當(dāng)時，設(shè)以C為頂點的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點為D（如圖2），
①求CD的長；
②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時，h的值最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）①由題意可得；
②由題意得到關(guān)于t的坐標(biāo)．按照兩種情形解答，從而得到答案．
（2）①以點C為頂點的拋物線，解得關(guān)于t的根，又由過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC∽△AOB從而解得．
②先求得三角形COD的面積為定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在線段比例中t為是，h最大．
解答：解：（1）①C（1，2），Q（2，0）
②由題意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分兩種情況討論：
情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴點P與點Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；

（2）①由題意得：C（t，-），
∴以C為頂點的拋物線解析式是y=，
由，
即（x-t）²+（x-t）=0，
∴（x-t）（x-t+）=0，
解得．
過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°，
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴，
∵AO=4，AB=5，DE=，
∴CD=，
②∵，CD邊上的高=，
∴，
∴S_△COD為定值．
要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短，因為當(dāng)OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴，OP=，
即t=，
∴當(dāng)t為秒時，h的值最大．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，（1）①由題意知P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）代入，分兩種情況解答．（2）①以點C為頂點的函數(shù)式，設(shè)法代入關(guān)于t的方程，又由△DEC∽△AOB從而解得．②通過求解可知三角形COD的面積為定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在線段比例中t為時，h最大．從而解答．