Question

如圖，拋物線y=ax²+2ax+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸的正、負(fù)半軸上），cot∠OCA=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平行于x軸的直線l與拋物線交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的左邊），如果四邊形OBFE是平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線y=ax²+2ax+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸的正、負(fù)半軸上），cot∠OCA=3．由此可以得C（0，3，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，由于由此可以求出OA，然后求出A的坐標(biāo)，最后把點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式即可確定拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線y=-x²-2x+3可以得到其對(duì)稱軸是直線x=-1，又A（1，0），由此求出點(diǎn)B（-3，0），又四邊形OBFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=OB，由此可以求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)代入解析式中即可求出y，也就求出E的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意，得C（0，3）（1分）
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∵
∴OA=1，
∴A（1，0）（2分）
∵點(diǎn)A在拋物線y=ax²+2ax+3上，
∴a+2a+3=0（1分）
解得a=-1（1分）
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+3（1分）

（2）∵拋物線y=-x²-2x+3的對(duì)稱軸是直線x=-1（1分）
又A（1，0）
∴點(diǎn)B（-3，0）（1分）
∵四邊形OBFE是平行四邊形
∴EF=OB=3，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．（1分）
設(shè)點(diǎn)（1分）
∴（1分）
∴點(diǎn)（1分）
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，分別考查了待定系數(shù)法確定函拋物線的解析式、解直角三角形、拋物線的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，解題時(shí)首先讀懂題意，然后正確把握題目的數(shù)量關(guān)系才能很好解決題目的問題．