Question

如圖①，△ABC是等邊三角形，D、E分別為邊BC和AC上的點，且BD=CE，過D作BE的平行線，過E作BC的平行線，它們交于點F，連接AF．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）試判斷△ADF的形狀，并說明理由；
（3）若將D、E分別移為邊CB的延長線和AC的延長線上的點，其它條件不變（如圖②），則△ADF的形狀是否改變，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABE、△CAD中，已知的條件有：AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°；若求兩個三角形全等，只需再證得AE=CD即可，易知AC=BC，而BD=CE，即可得到AE=CD，由此得證；
（2）易證得四邊形BDFE是平行四邊形，則BE=DF=AD；設(shè)AD、BE交于G，則∠ADF=∠BGD；
而∠BGD=∠ABE+∠DAB，由（1）的全等三角形知：∠DAC=∠ABE，故∠BGD=∠DAC+∠DAB=60°，等量代換后，可求得∠ADF=60°，即可得到△ADF是等邊三角形的結(jié)論．
（3）與（2）的結(jié)論相同，解題思路與（1）（2）完全相同．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=AC=BC；
∵BD=CE，
∴AC-CE=BC-BD，∴AE=CD；
又AB=AC，
∴△ABE≌△CAD；（3分）

（2）△ADF是等邊三角形，理由如下：（4分）
∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°；
∵DF∥BE，EF∥BC，
∴∠1=∠2，四邊形BDFE是平行四邊形；
∴BE=DF；（5分）
∵△ABE≌△CAD，∴∠4=∠5，BE=AD，∴DF=AD；
∵∠1=∠3+∠4，∴∠2=∠3+∠5=∠BAC=60°；（6分）
∴△ADF是等邊三角形；（7分）

（3）△ADF仍是等邊三角形，理由如下：（8分）
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAE=∠C=60°，AB=BC；
∴∠ABD=∠BCD=180°-120°；
∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠1=∠3，BE=AD；（9分）
∵DF∥BE，EF∥BC，
∴∠1=∠2，四邊形BDFE是平行四邊形；
∴BE=DF，∴DF=AD；（10分）
∵∠3+∠4=∠ABC=60°，∴∠2+∠4=60°即∠ADF=60°
∴△ADF是等邊三角形．（12分）
點評：此題綜合考查了等邊三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．