【題目】如圖,以G(0,1)為圓心,半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C、D兩點,點E為⊙G上一動點,CF⊥AE于F.當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時,點F所經(jīng)過的路徑長為( 。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:連接AC,AG,由OG垂直于AB,利用垂徑定理得到O為AB的中點,由G的坐標確定出OG的長,在直角三角形AOG中,由AG與OG的長,利用勾股定理求出AO的長,進而確定出AB的長,由CG+GO求出OC的長,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出AC的長,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始終為直角三角形,點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑,如圖中紅線所示,當E位于點B時,CO⊥AE,此時F與O重合;當E位于D時,CA⊥AE,此時F與A重合,可得出當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時,點F所經(jīng)過的路徑長,在直角三角形ACO中,利用銳角三角函數(shù)定義求出∠ACO的度數(shù),進而確定出所對圓心角的度數(shù),再由AC的長求出半徑,利用弧長公式即可求出的長.
詳解:連接AC,AG,
∵GO⊥AB,
∴O為AB的中點,即AO=BO=AB,
∵G(0,1),即OG=1,
∴在Rt△AOG中,根據(jù)勾股定理得:AO=,
∴AB=2AO=2,
又CO=CG+GO=2+1=3,
∴在Rt△AOC中,根據(jù)勾股定理得:AC=,
∵CF⊥AE,
∴△ACF始終是直角三角形,點F的運動軌跡為以AC為直徑的半圓,
當E位于點B時,CO⊥AE,此時F與O重合;當E位于D時,CA⊥AE,此時F與A重合,
∴當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時,點F所經(jīng)過的路徑長,
在Rt△ACO中,tan∠ACO=,
∴∠ACO=30°,
∴度數(shù)為60°,
∵直徑AC=2,
∴的長為,
則當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時,點F所經(jīng)過的路徑長.
故選B.
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【題目】如圖,四邊形OABC是平行四邊形,以O為圓心,OA為半徑的圓交AB于D,延長AO交⊙O于E,連接CD,CE,若CE是⊙O的切線,解答下列問題:
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若BC=3,CD=4,求平行四邊形OABC的面積.
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【題目】如圖,△ABC和△A'B'C'關于直線l對稱,下列結論:①△ABC≌△A'B'C' ;②∠BAC=∠B'A'C';③直線l不一定垂直平分線段CC';④直線BC與B'C'的交點一定在直線l上.其中正確的是________ (填序號).
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【題目】矩形紙片ABCD中,AB=10,AD=8,將紙片折疊,使點B落在CD上的B′處,折痕為AE,在折痕AE上存在一點P到邊CD的距離與到點B的距離相等,則此相等的距離為_____.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線與軸交于點,,與軸交于點,直線經(jīng)過,兩點.
求拋物線的解析式;
在上方的拋物線上有一動點.
①如圖,當點運動到某位置時,以,為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上,求出此時點的坐標;
②如圖,過點,的直線交于點,若,求的值.
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【題目】2002年在北京召開的世界數(shù)學大會會標圖案是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形,中間的陰影部分是一個小正方形的“趙爽弦圖”.若這四個全等的直角三角形有一個角為30°,頂點B1、B2、B3、…、Bn和C1、C2、C3、…、Cn分別在直線和x軸上,則第n個陰影正方形的面積為
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【題目】如圖,已知直線與雙曲線(k>0)交于A、B兩點,點B的坐標為(﹣4,﹣2),C為雙曲線(k>0)上一點,且在第一象限內(nèi),若△AOC的面積為6.
(1)求雙曲線的解析式;
(2)求點C的坐標.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,P是CD邊上一點,且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA,若AD=5,AP=8,則△APB的周長是 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,△ABC的位置如圖所示.
(1)頂點A關于x軸對稱的點A′的坐標(____________),頂點B的坐標(____________),頂點C關于原點對稱的點C′的坐標(____________).
(2)△ABC的面積為_____.
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