Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA=PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）已知PA=，BC=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證PB是⊙O的切線，只要連接OB，求證∠OBP=90°即可；
（2）連接OP，交AB于點D，求半徑時，可以證明△APO∽△DPA，還可證明△PAO∽△ABC，在Rt△OAP中利用勾股定理．
解答：（1）證明：連接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
∴∠PAO=∠PBO．（2分）
又∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB．（4分）
又∵OB是⊙O半徑，
∴PB是⊙O的切線，（5分）
說明：還可連接OB、OP，利用△OAP≌△OBP來證明OB⊥PB．

（2）解：連接OP，交AB于點D，
∵PA=PB，
∴點P在線段AB的垂直平分線上．
∵OA=OB，
∴點O在線段AB的垂直平分線上，
∴OP垂直平分線段AB，（7分）
∴∠PDA=90°．
又∵PA切⊙O于點A，
∴∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠PDA，
又∵∠APO=∠DPA，
∴△APO∽△DPA，
∴，
∴AP²=PO•DP．
又∵OD=BC=，
∴PO（PO-OD）=AP²，即PO（PO-）=AP²，即：PO²-PO=，
解得PO=2，（9分）
在Rt△APO中，，即⊙O的半徑為1．（10分）
說明：求半徑時，還可證明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了相似三角形的判定和性質，及勾股定理的運用．