Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，以的長為半徑作⊙O交x軸于P、Q兩點，交y軸于G、H兩點，△ABC內(nèi)接于⊙O，且BC∥x軸交y軸于D，∠BAC=45°（如圖1）．
（1）求C點坐標(biāo)；
（2）若點A在x軸上方的半圓上運動（不與G重合），且CA的延長線交y軸于M，AB交y軸于N（如圖2），當(dāng)A點運動時，ON•OM的值是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出其值；
（3）若點A在⊙O上運動（不與B、C重合），是否存在點A，使△ABC為等腰三角形？若存在，請求出A點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形BOC是直角三角形即可解出C點坐標(biāo)．
（2）分析幾個特殊位置：當(dāng)A位于y正半軸與圓的交點或A位于x負半軸與圓的交點時值不變．
（3）分類討論，分別討論當(dāng)AB，AC，BC為腰時的情況．
解答：解：（1）∵∠BOC=2∠BAC=90°，
即△BOC是等腰直角三角形，CO=，
∴C點坐標(biāo)為（sin45°，-cos45°），
即（1，-1）；

（2）當(dāng)A位于y正半軸與圓的交點時，ON=OM=，ON•OM=2；
A位于x負半軸與圓的交點時，
∴ON=，OM=，
∴ON•OM=2．
當(dāng)A點運動時，ON•OM的值不發(fā)生變化，ON•OM=2．

（3）當(dāng)AB=AC時，圓與y軸的交點即A的可能取值，
故A（0，）或（0，）；
當(dāng)AB=BC時，A與C關(guān)于原點對稱，此時A（-1，1）；
當(dāng)BC=AC時，A與C關(guān)于x軸對稱，此時A（1，1）．
點評：考查了三角形外接圓的靈活應(yīng)用，對動態(tài)點的討論和分析．