Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，當(dāng)-3＜x＜2時，函數(shù)值y＜0；當(dāng)x＜-3或x＞2時，函數(shù)值y＞0．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）在直線y=-5上是否存在點P，使得∠APB=∠ACB？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)當(dāng)-3＜x＜2時，函數(shù)值y＜0；當(dāng)x＜-3或x＞2時，函數(shù)值y＞0，得出函數(shù)圖象與x軸交點坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意畫出圖象，利用勾股定理得出BD，BC的長，進(jìn)而得出∠ACB的度數(shù)，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出符合題意的P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+mx+n，當(dāng)-3＜x＜2時，函數(shù)值y＜0；當(dāng)x＜-3或x＞2時，函數(shù)值y＞0，
∴二次函數(shù)y=x²+mx+n過點A（-3，0），B（2，0），
把A，B點代入二次函數(shù)解析式得：

9-3m+n=0 4+2m+n=0

，
解得：

m=1 n=-6

，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²+x-6；

（2）如圖所示：過點B作BD⊥AC于點D，
當(dāng)x=0，則y=-6，
∴CO=6，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴AO=3，BO=2，AB=5，
∴AC=

32+62

=3

5

，BC=2

10

，
∴DB×AC=AB×CO，
∴BD=

AB×CO

AC

=

5×6

3 5

=2

5

，
∴sin∠DCB=

DB

BC

=

2 5

2 10

=

2

2

，
∴∠DCB=45°，
當(dāng)∠APB=∠ACB，即∠APB=∠ACB=45°，
∵AB=5，點P在直線y=-5上，
∴當(dāng)PA⊥AB垂足為A時，PA=AB，∠BAP=90°，
∴∠APB=∠ABP=45°，此時P點坐標(biāo)為：（-3，-5），
當(dāng)∠AP′B=∠ACB，即∠AP′B=∠ACB=45°，
∵AB=5，點P′在直線y=-5上，
∴當(dāng)P′B⊥AB垂足為B時，P′A=AB，∠P′BA=90°，
∴∠AP′B=∠BAP′=45°，此時P′點坐標(biāo)為：（2，-5），
綜上所述：在直線y=-5上是否存在點P，使得∠APB=∠ACB，點P的坐標(biāo)分別為：（-3，-5），（2，-5）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，利用點的坐標(biāo)得出∠ACB的度數(shù)是解題關(guān)鍵．