Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點(diǎn)為F，F(xiàn)H∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF．
（1）證明：AF平分∠BAC；
（2）證明：BF=FD．

Answer 1

【答案】分析：（1）即證∠BAF=∠CAF．根據(jù)圓周角定理轉(zhuǎn)證．連接切點(diǎn)和圓心，運(yùn)用切線的性質(zhì)和垂徑定理可證；
（2）可證∠DBF=∠BDF．運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)和（1）的結(jié)論證明．
解答：證明：（1）連接OF．（如圖1）
∵FH是⊙O的切線，
∴OF⊥FH．                   
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC，
∴，
∴AF平分∠BAC；        

（2）∵AF平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵BD平分∠ABC，
∴∠3=∠4，
又∵∠5=∠2（圓周角定理），
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠1+∠4=∠5+∠3，
∠FDB=∠FBD，
∴BF=FD．
點(diǎn)評(píng)：此題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．