Question

已知，DE是等腰直角三角形ABC的中位線，將△BED沿AB翻折使E落在F處，如圖①，再將△ABC繞B點逆時針旋轉α°（0＜α＜90°），連接AF，DC，如圖②．
（1）觀察猜想，∠AFB與∠BDC大小關系______（直接出正確結論）；
（2）當α=30時，試判斷△BDC的形狀；
（3）在（2）的條件下，若DG=1，求DF的長．

Answer 1

解：（1）∵DE是等腰直角三角形ABC的中位線，將△BED沿AB翻折使E落在F處，
∴∠EDB=∠A=∠FDB=45°，∠DBE=∠DBF=90°，FD=DE，
∴FB=BE=BD，
∠CBD+∠ABD=90°，∠ABD+∠ABF=90°，
∴∠CBD=∠ABF，
在△CBD和△ABF中
∵，
∴△CBD≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠BDC．
故答案為：∠AFB=∠BDC；

（2）如圖②，延長BD至M使DM=BD，連接MC，則BM=2DB，
∵DE是等腰直角三角形ABC的中位線，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵BM=BC，BC=2BD，BC=2CE，BE=BD，
∴BC=BM，
∵∠CBE=30°，
∴∠DBC=60°，
∴△BMC為等邊三角形，
∴DC⊥BD，
∴△DCB直角三角形；

（3）設DB=a，∴BC=2a，
∴，
∴，
∵∠AFB=∠BDC，
∴∠AFB=90°，
∴AF∥DB，
∴，
∵DG=1，
∴FG=，
∴．
分析：（1）利用旋轉的性質得出對應線段相等以及得出∠CBD=∠ABF，BF=BD，再由全等三角形的判定與性質得出△CBD≌△ABF即可得出答案；
（2）延長BD至M使DM=BD，連接MC，首先得出△BDE是等腰直角三角形，進而得出△BMC為等邊三角形，即可得出△BDC的形狀；
（3）首先設DB=a，則BC=2a，利用勾股定理得出DC長，再由AF∥DB，則，求出FG即可得出DF的長．
點評：此題主要考查了旋轉的性質和全等三角形的判定與性質以及平行線分線段成比例定理等知識，利用圖形旋轉前后對應線段以及對應角相等得出△BMC為等邊三角形是解題的關鍵．