Question

14、若一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)均滿足方程x²-9x+18=0，則此三角形的周長(zhǎng)為

9，15或18

．

Answer 1

分析：把已知的方程左邊利用十字相乘的方法分解因式，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即可求出方程的兩個(gè)解，然后分四中情況考慮：第一：考慮3為腰，6為底邊，不滿足兩邊之和大于第三邊，故此情況不成立；第二：3為底邊，6為腰，得出三角形的三邊，求出三邊之和即為三角形的周長(zhǎng)；第三：三邊長(zhǎng)都為3，即三角形為等邊三角形，求出周長(zhǎng)即可；第四：三邊長(zhǎng)都為6，同理求出周長(zhǎng)即可．

解答：解：方程x²-9x+18=0，
因式分解得：（x-3）（x-6）=0，
解得：x₁=3，x₂=6，
若3為等腰三角形的腰，6為底邊，則3+3=6，不能構(gòu)成三角形，舍去；
若3為底邊，6為腰，此三角形的三邊分別為6，6，3，則周長(zhǎng)為6+6+3=15；
若三角形三邊長(zhǎng)都為3，即三角形為等邊三角形，則周長(zhǎng)為3+3+3=9；
若三角形三邊長(zhǎng)都為6，即三角形為等邊三角形，則周長(zhǎng)為6+6+6=18，
綜上，此三角形的周長(zhǎng)為9，15或18．
故答案為：9，15或18

點(diǎn)評(píng)：此題考查了用因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，分解因式法是解一元二次方程常用的方法，其理論依據(jù)為：等號(hào)左邊為兩個(gè)因式的積，等號(hào)右邊為0，則兩因式中至少有一個(gè)為0．本題的難點(diǎn)在于利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考慮滿足題意的四種情況，利用三角形的三邊關(guān)于判斷得到符合題意的情況，然后根據(jù)等腰三角形及等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)來解決，體現(xiàn)了用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題的樂趣．