Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為（-2，-2），半徑為．函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)
（1）連接CO，求證：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，求∠POA的度數(shù)．

Answer 1

（1）解：延長(zhǎng)CO交AB于M，過C作CN⊥x軸于N，
∵C（-2，-2），
∴CN=ON=2，
∴∠C=∠NOC=45°，
∵y=-x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠MOA=∠NOC=45°，
∴∠OMA=180°-45°-45°=90°，
∴CO⊥AB．

（2）解：y=-x+2，令y=0，得A（2，0），
令x=0，得B（0，2），
①當(dāng)OA=OP時(shí)，P在B點(diǎn)，此時(shí)△POA是等腰三角形；
②當(dāng)AO=AP時(shí)，過P作PH⊥OA于H，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，-x+2），
∵在△APH中，根據(jù)勾股定理得：PA²=PH²+AH²，
∵PH=-x+2，AH=2-x，
∴PA²=（-x+2）²+（2-x）²，OA²=2²，
∴（x-2）²+（-x+2）²=2²
解得：x=2±，
當(dāng)x=2+時(shí)，-x+2=-；
當(dāng)x=2-時(shí)，-x+2=；
∴P（2+，-）或（2-，）；
③當(dāng)OP=AP時(shí)，作OA的垂直平分線交AB于P，此時(shí)AP=OP，
且P的橫坐標(biāo)是×2=1，
代入y=-x+2得：y=-1+2=1，
∴P（1，1）；
綜合上述，P的坐標(biāo)是（0，2）或（2+，-）或（2-，）或（1，1）．

（3）解：設(shè)PO切⊙C于D，連接CD，
則∠CDO=90°，CD=，
OC==2，
∴sin∠DOC===，
∴∠DOC=30°，
∴∠DON=∠AOP=45°-30°=15°，
同理求出是另一條切線時(shí)，∠AOP=45°+30°=75°，
答：∠POA的度數(shù)是15°或75°．
分析：（1）延長(zhǎng)CO交AB于M，過C作CN⊥x軸于N，求出CN=ON，OB=OA，推出∠MOA=∠BAO=45°，求出∠OMA=90°即可；
（2）①當(dāng)OA=OP時(shí)，P在B點(diǎn)；②當(dāng)AO=AP時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，-x+2），根據(jù)勾股定理得出方程（x-2）²+（-x+2）²=2²，求出x即可；③當(dāng)OP=AP時(shí)，作OA的垂直平分線交AB于P，此時(shí)AP=OP，求出P的橫坐標(biāo)x，代入y=-x+2求出y即可；
（3）設(shè)PO切⊙C于D，連接CD，求出OC，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出sin∠DOC，求出∠DOC即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)值，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生觀察圖形的能力，用了分類討論思想和方程思想．注意：一題多解�。�