Question

（1）如圖（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)G，試說明AE=BF．
（2）如果把線段BF變動位置如圖（2），其余條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？
（3）如果把AE與BF變動位置如圖（3），結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

解：（1）AE=BF，
理由是：∵正方形ABCD，AE⊥BF，
∴AB=BC，∠C=∠ABE=∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF．

（2）結(jié)論還成立，
理由是：過H作HM⊥CD于M，
∵正方形ABCD，AE⊥HG，
∴AB=BC=HM，∠B=∠APH=∠HMG=∠AHM=90°，
∴∠BAE+∠AHP=90°，∠GHM+∠AHP=90°，
∴∠BAE=∠GHM，
與（1）證法類似：證△ABE≌△HMG，
即AE=HG．

（3）結(jié)論還成立，
理由是：過E作EN⊥BC于N，
由EN∥AB∥CD，HM∥BC∥AD，EN=AB=BC=HM，
∵∠EPH=∠HOE=90°，∠EQP=∠HQN，
∴∠NEF=∠GHM，
在△ENF和△HMG中
，
∴△ENF≌△HMG，
∴EF=HG．
分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)求出AB=BC，∠C=∠ABE=∠AGB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAE=∠FBC，根據(jù)ASA證△ABE≌△BCF即可；
（2）過H作HM⊥CD于M，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AB=BC=HM，∠B=∠APH=∠HMG=∠AHM=90°，求出∠BAE=∠GHM，證△ABE≌△HMG即可；
（3）過E作EN⊥BC于N，推出EN∥AB∥CD，HM∥BC∥AD，EN=AB=BC=HM，求出∠NEF=∠GHM，根據(jù)ASA證△ENF≌△HMG即可．
點(diǎn)評：本題考查了正方形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的理解能力和推理能力，題目具有一定的規(guī)律性．