Question

如圖，△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D．

求證：AB＋BD＝AC．

Answer 1

答案：
解析：

分析：這道題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系不明顯，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化．由∠ABC＝2∠C，可在△ABC的外部構(gòu)造一等腰三角形，使∠ABC等于某一個(gè)角的兩倍． 　　證明：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE＝AB，連接AE． 　　所以△BAE為等腰三角形，且∠E＝∠1． 　　因?yàn)椤螦BD＝∠E＋∠1，所以∠ABD＝2∠E＝2∠1． 　　又因?yàn)椤螦BD＝2∠C，所以∠C＝∠E＝∠1． 　　所以AE＝AC． 　　因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠2＝∠3． 　　所以∠ADE＝∠C＋∠3＝∠1＋∠2＝∠EAD． 　　所以AE＝DE＝DB＋BE＝DB＋AB，即AB＋BD＝AC． 　　點(diǎn)評(píng)：從以上幾例可以看出，巧妙構(gòu)造等腰三角形，借助等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，可迅速找到解題途徑．但這種方法在思維上有一定的難度，本文旨在幫助同學(xué)們開闊視野、拓展解題思路．