Question

（2012•南崗區(qū)三模）△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P、Q分別是邊AC與邊BC上的兩點(diǎn)，QC=2AP，設(shè)AP=x，△PQC的面積為S．
（1）直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，作P作PE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得PE的值，繼而求得S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由a=-

3

2

＜0，即可得當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)，S最大值為

3

2

．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，作P作PE⊥BC于點(diǎn)E，
∴PE∥AD，
∴

PC

AC

=

PE

AD

，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴AD=AB•sin60°=

3

，
∵AP=x，
∴PC=AC-AP=2-x，
∴

PE

3

=

2-x

2

，
解得：PE=

3

-

3

2

x，
∵QC=2AP=2x，
∴S=

1

2

CQ•PE=

1

2

×2x×（

3

-

3

2

x）=-

3

2

x²+

3

x=-

3

2

（x-1）²+

3

2

，
∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

3

2

（x-1）²+

3

2

；

（2）∵a=-

3

2

＜0，
∴S有最大值，
∴當(dāng)x=1時(shí)，S最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題與平行線分線段成比例定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．