Question

正方形ABCD中，M是BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AM⊥MN且交∠DCE的平分線于N．求證：AM=MN．

Answer 1

證明：連接AC交MN于P，過M作MF∥AC交AB于F．則△ABC和△FBM均為等腰直角三角形，BF=BM；
又∵BA=BC，
∴AF=MC，
∵∠AMN=∠CAN=90°，∠APM=∠NPC，
∴∠1=∠2．
又MF∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
又∵∠AFM=∠MCN=135°．
在△AFM和△MCN中，
，
∴△AFM≌△MCN（AAS），
∴AM=MN．
分析：連接AC交MN于P，過M作MF∥AC交AB于F，證明△AFM≌△MCN，由全等三角形的性質(zhì)即可得到AM=MN．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形．