Question

已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，連接BP，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)BP的垂線(xiàn)交y軸于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）當(dāng)BQ=AP時(shí)，求t的值；

（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三點(diǎn)，

∴，

解得 ，

∴y=﹣x²﹣x+2．

（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，

∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，

∵AO=BO=2，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OQ=OP=t．

①如圖1，當(dāng)t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B下方，此時(shí)BQ=2﹣t，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴2﹣t=（2+t），

∴t=．

②如圖2，當(dāng)t＞2時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方，此時(shí)BQ=t﹣2，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴t﹣2=（2+t），

∴t=6．

綜上所述，t=或6時(shí)，BQ=AP．

（3）當(dāng)t=﹣1時(shí)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M（1，1）；當(dāng)t=3+3時(shí)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M（﹣3，﹣3）．

分析如下：

∵AQ⊥BP，

∴∠QAO+∠BPO=90°，

∵∠QAO+∠AQO=90°，

∴∠AQO=∠BPO．

在△AOQ和△BOP中，

，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OP=OQ，

∴△OPQ為等腰直角三角形，

∵△MPQ為等邊三角形，則M點(diǎn)必在PQ的垂直平分線(xiàn)上，

∵直線(xiàn)y=x垂直平分PQ，

∴M在y=x上，設(shè)M（x，y），

∴，

解得  或 ，

∴M點(diǎn)可能為（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如圖3，當(dāng)M的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，作MD⊥x軸于D，

則有PD=|1﹣t|，MP²=1+|1﹣t|²=t²﹣2t+2，PQ²=2t²，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP=PQ，

∴t²+2t﹣2=0，

∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（負(fù)值舍去）．

②如圖4，當(dāng)M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3）時(shí)，作ME⊥x軸于E，

則有PE=3+t，ME=3，

∴MP²=3²+（3+t）²=t²+6t+18，PQ²=2t²，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP=PQ，

∴t²﹣6t﹣18=0，

∴t=3+3，t=3﹣3（負(fù)值舍去）．

綜上所述，當(dāng)t=﹣1+時(shí)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M（1，1），或當(dāng)t=3+3時(shí)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M（﹣3，﹣3），使得△MPQ為等邊三角形．