Question

如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點。某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線。

（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線，請你說明理由。
（4）如圖4，點E是平行四邊形ABCD的邊的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線，請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點。

Answer 1

解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線。理由如下：
設△ABC的邊AB上的高為h，

所以，，，
又因為點D為邊AB的黃金分割點，所以有
∴，
∴直線CD是△ABC的黃金分割線。
（2）因為三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時，即，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線。
（3）因為DF∥CE，所以△DEC和△FCE 的公共邊CE上的高也相等，
所以有
設直線EF與CD交于點G，
所以
所以，

∵，
∴，
∴直線EF也是△ABC的黃金分割線。
（4）畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；
畫法一：如圖1，取EF的中點G，再過點G作一條直線分別交AB，DC于M，N點，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線。
畫法二：如圖2，在DF上取一點N，連接EN，再過點F作FM∥NE交AB于點M，連接MN，則直線MN就平行四邊形ABCD的黃金分割線。