Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²+（2k-1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使△AOB的面積等于6，求點B的坐標(biāo)；
（3）對于（2）中的點B，在此拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

①∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，
∴0=k+1，
∴k=-1，
∴y=x²-3x，

②假設(shè)存在點B，過點B做BD⊥x軸于點D，
∵△AOB的面積等于6，
∴

1

2

AO•BD=6，
當(dāng)0=x²-3x，
x（x-3）=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，
∴BD=4
即4=x²-3x，
解得：x=4或x=-1（舍去）．
又∵頂點坐標(biāo)為：（1.5，-2.25）．
∵2.25＜4，
∴x軸下方不存在B點，
∴點B的坐標(biāo)為：（4，4）；

③∵點B的坐標(biāo)為：（4，4），
∴∠BOD=45°，BO=

42+42

=4

2

，
當(dāng)∠POB=90°，
∴∠POD=45°，
設(shè)P點橫坐標(biāo)為：x，則縱坐標(biāo)為：x²-3x，
即-x=x²-3x，
解得x=2或x=0，
∴在拋物線上僅存在一點P（2，-2）．
∴OP=

22+22

=2

2

，
使∠POB=90°，
∴△POB的面積為：

1

2

PO•BO=

1

2

×4

2

×2

2

=8．