Question

在一次活動(dòng)課中，老師請(qǐng)每位同學(xué)自己用紙板做一個(gè)如圖所示的有蓋的長(zhǎng)方體的紙盒，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為acm、b cm、c cm．小楊在展示自己做的紙盒時(shí)，告訴同學(xué)們說(shuō)：“我做的紙盒的長(zhǎng)、寬、高都是正整數(shù)，且經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)它們滿足a（b-c）=3，bc=ab+ac-7”．請(qǐng)同學(xué)們算一算，做一個(gè)這樣的紙盒需要多少平方厘米的紙板（接縫不算）？

Answer 1

分析：首先由a（b-c）=3，且a，b，c均為正整數(shù)，即可求得

a=1 b-c=3

或

a=3 b-c=1

，然后分別將它們代入bc=ab+ac-7，即可求得a，b，c的值，再由長(zhǎng)方體的表面積為：2（ab+ac+bc），即可求得做一個(gè)這樣的紙盒需要多少平方厘米的紙板．

解答：解：∵a（b-c）=3，且a，b，c均為正整數(shù)，
∴

a=1 b-c=3

或

a=3 b-c=1

，
即：

a=1 b=c+3

或

a=3 b=c+1

，
①當(dāng)

a=1 b=c+3

時(shí)，把a(bǔ)=1，b=c+3分別代入bc=ab+ac-7中，得：
（c+3）c=c+3+c-7，
整理得：c²+c+4=0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
②當(dāng)

a=3 b=c+1

時(shí)，把a(bǔ)=3，b=c+1分別代入bc=ab+ac-7中，得：（
c+1）c=3（c+1）+3c-7，
整理得：c²-5c+4=0，
解得c=1或c=4．
∴

a=3 b=2 c=1

或

a=3 b=5 c=4

，
故長(zhǎng)方體的表面積為：
2（ab+ac+bc）=2×（3×2+3×1+2×1）=22（cm²）或2（ab+ac+bc）=2×（3×5+3×4+5×4）=94（cm²）．
∴做一個(gè)這樣的紙盒需要22cm²或94cm²的紙板．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正整數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的解法以及長(zhǎng)方體的表面積的求解方法等知識(shí)．解此題的關(guān)鍵是注意分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．