Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點(diǎn)為M（2，－1），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）。

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)，求直線CD的解析式；
（3）在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，滿足PM²＋PB²＋PC²＝35，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；并直接寫(xiě)出此時(shí)直線OP與該拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

Answer 1

（1） （2）直線CD的解析式為 （3）  當(dāng)P（2，－2）時(shí)，直線OP與該拋物線無(wú)交點(diǎn)； 
當(dāng)P（2，）時(shí)，直線OP與該拋物線有兩交點(diǎn)。 

解析試題分析：（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點(diǎn)為M（2，－1），
∴設(shè)拋物線的解析式為線。
∵點(diǎn)B（3，0）在拋物線上，∴，解得。
∴該拋物線的解析式為，即。
（2）在中令x=0，得�！郈（0，3）。
∴OB=OC=3�！唷螦BC=45⁰。
  
過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸交CD于點(diǎn)N（如圖），
則∠ABC=∠NBC=45⁰。
∵直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)，
∴∠ACB=∠NCB。
又∵CB=CB，∴△ACB≌△NCB（ASA）。
∴BN=BA。
∵A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=2對(duì)稱(chēng)，B（3，0），
∴A（1，0）�！郆N=BA=2�！郚（3，2）。
設(shè)直線CD的解析式為，
∵C（0，3），N（3，2）在直線CD上，
∴，解得，。
∴直線CD的解析式為。
（3）設(shè)P（2，p）。∵M(jìn)（2，－1），B（3，0），C（0，3），
∴根據(jù)勾股定理，得，，
。
∵PM²＋PB²＋PC²＝35，∴。
整理，得，解得。
∴P（2，－2）或（2，）。 
當(dāng)P（2，－2）時(shí)，直線OP與該拋物線無(wú)交點(diǎn)； 
當(dāng)P（2，）時(shí)，直線OP與該拋物線有兩交點(diǎn)。 
考點(diǎn)：拋物線，全等三角形
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，全等三角形，解答本題需要考生掌握待定系數(shù)法，會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟悉全等三角形的判定方法，會(huì)證明兩個(gè)三角形全等