Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的長(zhǎng)；
（3）求證：BE是⊙O的切線(xiàn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結(jié)論；
（2）判斷△BED∽△CBA，利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)度．
（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結(jié)論．
解答：（1）證明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），
∴∠BCA=∠BAD．

（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴=，即=，
解得：DE=．

（3）證明：連結(jié)OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定及圓周角定理的知識(shí)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握一些定理的內(nèi)容．