Question

設x、y、z是三個實數(shù)，且有

1 x + 1 y + 1 z =2 1 x2 + 1 y2 + 1 x2 =1.

，則

1

xy

+

1

yz

+

1

zx

的值是（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

Answer 1

考點：完全平方公式,完全平方數(shù)

專題：

分析：首先把

1

x

+

1

y

+

1

z

=2通分變?yōu)?span id="fnywktw" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

xy+yz+xz

xyz

=2，接著得到xy+yz+zx=2xyz，然后兩邊同時平方得到x²y²+y²z²+z²x²+2xyz（x+y+z）=4x²y²z²①，然后把

1

x2

+

1

y2

+

1

x2

=1通分變?yōu)?span id="ehv8xbi" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

x2y2+y2z2+z2x2

x2y2z2

=1，然后變?yōu)閤²y²+y²z²+z²x²=x²y²z²，接著把它代入①中即可解決問題．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

+

1

z

=2，
∴

xy+yz+xz

xyz

=2，
∴xy+yz+zx=2xyz，
兩邊平方得
x²y²+y²z²+z²x²+2xyz（x+y+z）=4x²y²z²①，
又∵

1

x2

+

1

y2

+

1

x2

=1，
∴

x2y2+y2z2+z2x2

x2y2z2

=1，
∴x²y²+y²z²+z²x²=x²y²z²②，
把②代入①得
x²y²z²+2xyz（x+y+z）=4x²y²z²，
∴2xyz（x+y+z）=3x²y²z²，
∴xyz（x+y+z）=3x²y²z²÷2，
兩邊同時除以x²y²z²得

xyz(x+y+z)

x2y2z2

=

3

2

，
∴

1

xy

+

1

yz

+

1

zx

=

3

2

．
故選C．

點評：此題主要考查了利用完全平方公式進行恒等式變形然后求代數(shù)式的值，是一個競賽題，比較難，要求學生對于完全平方公式和代數(shù)變形比較熟練才能很好的解決問題．