Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知OA=4OB，AC=2BC=．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）若點C關于原點的對稱點為C′，試問在AB的垂直平分線上是否存在一點G，使得△GBC′的周長最小？若存在，求出點G的坐標和最小周長；若不存在，請說明理由．
（3）設點P是直線BC上異于點B、點C的一個動點，過點P作x軸的平行線交直線AC于點Q，過點Q作QM垂直于x軸于點M，再過點P作PN垂直于x軸于點N，得到矩形PQMN．則在點P的運動過程中，當矩形PQMN為正方形時，求該正方形的邊長．

Answer 1

解：（1）設OB=k（k＞0），則OA=4k，AB=5k，
∵AC=2BC=2，∠ACB=90°，
∴（2）²+（）²=（5k）²，
解得：k=1，
∴OB=1，OA=4，
∴A（-4，0），B（1，0），
∵OC==2，
∴C（0，-2）；

（2）如圖1，連接AC′，由幾何知識知AC′與AB的垂直平分線l的交點即為△GBC′的周長最小時的點G．
連接GB，BC′，
∵點C′與點C關于原點對稱，且C（0，-2），
∴C′（0，2），
∵A（-4，0），B（1，0），
∴直線AC′的解析式為：y=x+2，
直線l的解析式為：x=-，
∴點G（-，），
∵BC′==，AC′==2
∴△GBC′的最小周長為：
GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3；

（3）由圖易知點P不可能在直線BC的點B右上方．
當點P在線段BC之間時（如圖2），
設正方形PQMN的邊長為t．
∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）
∴直線AC的解析式為：y=-x-2，
直線BC的解析式為：y=2x-2，
∴點P（，-t），點Q（2t-4，-t），
∴點N（，0），點M（2t-4，0），
∴MN=-2t+4+=t，解得t=，
當點P在直線BC的左下方時，同理可得點N（，0），點M（2t-4，0），此時
MN=2t-4-=t，解得t=．
綜上所述，正方形PQMN的邊長為或．
分析：（1）設OB=k（k＞0），則OA=4k，AB=5k，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出k的值，故可得出A、B、C三點的坐標；
（2）連接AC′，由幾何知識知AC′與AB的垂直平分線l的交點即為△GBC′的周長最小時的點G．連接GB，BC′，根據(jù)點C′與點C關于原點對稱，且C（0，-2），可求出C′（0，2），利用待定系數(shù)法求出直線AC′的解析式故可求出G點坐標，進而可得出結論；
（3）由圖易知點P不可能在直線BC的點B右上方．當點P在線段BC之間時（如圖2），設正方形PQMN的邊長為t，求出直線AC的解析式，由正方形的性質可求出P、Q、M、N點的坐標，故可得出MN的長；同理當點P在直線BC的左下方時可求出MN的長．
點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及正方形的性質等知識，難度較大．