Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿其對角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E．
（1）求證：△AEC是等腰三角形；
（2）若P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，作PG⊥AB′于G、PH⊥DC于H，求證：PG+PH=AD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BAC=∠EAC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAC=∠ECA，從而得到∠EAC=∠ECA，再根據(jù)等角對等邊證明即可；
（2）連接EP，根據(jù)△AEC的面積列式整理即可得證．

解答：（1）證明：由翻折的性質(zhì)得，∠BAC=∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，
∴△AEC是等腰三角形；

（2）證明：如圖，連接EP，
S_△AEC=

1

2

AE•PG+

1

2

EC•PH=

1

2

EC•AD，
所以，PG+PH=AD．

點(diǎn)評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及三角形的面積，熟記翻折前后兩個(gè)圖形能夠重合找出相等的角是解題的關(guān)鍵．