Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長(zhǎng)度；
（4）如圖2，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.

Answer 1

（1）（2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）（3）或（4），解析:
解：（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得         ………………… 2分
解得：                                      
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：         ………………… 3分
方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）         
設(shè)該表達(dá)式為：                    ………………… 2分
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：                          
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：          …………………3分
（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）
（2）方法一：存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）             
理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）                             
由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3）                         ………………… 6分
方法二：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）                            
∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）  
代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有（2，－3）符合
∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3）                       ………………… 6分
（3）如圖，①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達(dá)式，解得        …………………8分
②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r>0），
則N（r+1，－r），
代入拋物線的表達(dá)式，解得    ………………… 9分
∴圓的半徑為或．    
（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，

易得G（2，－3），直線AG為．       
設(shè)P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．
             
當(dāng)時(shí)，△APG的面積最大
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，．   ………………… 12分
（1）根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)；②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑，代入拋物線求解
（4）易求得AC的長(zhǎng)，由于AC長(zhǎng)為定值，當(dāng)P到直線AG的距離最大時(shí)，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線AG的解析式可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，也就求出PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出關(guān)于△APG的面積與P點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出△APG的最大面積及P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)此時(shí)△APG的面積和AG的長(zhǎng)，即可求出P到直線AC的最大距離．