【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A,B,頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),過點(diǎn)A作直線l:交BD于點(diǎn)E,連接BC的直線交直線l于K點(diǎn).
(1)問:在四邊形ABKD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使它到四邊形ABKD四邊的距離都相等?
若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(2)若M,N分別為直線AD和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)DN,NM,MK,如圖2,求DN+NM+MK和的最小值.
【答案】(1) 四邊形ABCD內(nèi)部存在點(diǎn)P(2,)到四邊形ABCD四邊的距離相等;(2)8.
【解析】
(1)由拋物線解析式求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo),求直線BC解析式,把直線BC與直線l的解析式聯(lián)立方程組,求得的解為點(diǎn)K坐標(biāo),因此求得AB=BK=KD=AD=4,即四邊形ABKD為菱形.由菱形性質(zhì)可知對角線平分一組對角,故對角線AK、BD交點(diǎn)E在菱形四個(gè)內(nèi)角的平分線上,所以點(diǎn)E到四邊距離相等,即為符合題意的點(diǎn)P.
(2)由菱形性質(zhì)可知點(diǎn)B、D關(guān)于直線AK對稱,故有DN=BN,所以當(dāng)點(diǎn)B、N、M在同一直線上時(shí),DN+MN=BN+MN=BM最。鼽c(diǎn)K關(guān)于直線AD對稱點(diǎn)Q,得MK=MQ,所以當(dāng)點(diǎn)Q、M、B在同一直線上時(shí),BM+MK=BM+MQ=BQ最小,即BQ的長為DN+NM+MK的最小值.由AK平分∠DAB可求得點(diǎn)K到直線AD距離等于點(diǎn)K的縱坐標(biāo),進(jìn)而求得KQ的長;再由BK∥AD得∠BKQ=∠DRQ=90°,利用勾股定理即求得BQ的長.
(1)在四邊形ABKD內(nèi)部存在點(diǎn)P到四邊形ABKD四邊的距離都相等.
當(dāng)y=0時(shí),
解得:x1=-1,x2=3
∴A(-1,0),B(3,0),AB=4
∵
∴頂點(diǎn)C(1,-2)
∵點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)
∴D(1,2),
設(shè)直線BC解析式為y=bx+c
∴, 解得:
∴直線BC:
∵,解得:
∴K(5,2)
∴,DK∥x軸,DK=5-1=4
∴AB=BK=DK=AD=4
∴四邊形ABKD是菱形
∴對角線AK、BD平分一組對角,
∴AK、BD交點(diǎn)E(1,)到菱形四邊距離相等
∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí),即符合題意的點(diǎn)
∴在四邊形ABKD內(nèi)部存在點(diǎn)P(1,)到四邊形ABKD四邊的距離都相等.
(2)過點(diǎn)K作KF⊥x軸于點(diǎn)F,作點(diǎn)K關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)Q,KQ與直線AD相交于點(diǎn)R,連接MQ、QB、NB
∵菱形ABKD中,AK與BD互相垂直平分
∴點(diǎn)B、D關(guān)于直線AK對稱
∴DN=BN
∴當(dāng)點(diǎn)B、N、M在同一直線上時(shí),DN+NM=BN+NM=BM最小
∵點(diǎn)K、Q關(guān)于直線AD對稱
∴KQ⊥AD,QR=KR,MK=MQ
∴當(dāng)點(diǎn)Q、M、B在同一直線上時(shí),BM+MK=BM+MQ=BQ最小
∴BQ的長為DN+NM+MK的最小值
∵AK平分∠DAB,KF⊥AB,KR⊥AD,yK=2
∴KF=KR=2
∴KQ=2KR=4
∵BK∥AD
∴∠BKQ=∠DRQ=90°
∴Rt△BKQ中,BQ=
∴DN+NM+MK和的最小值為8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,半圓的直徑.點(diǎn)與點(diǎn)重合,半圓以的速度從左向右移動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)、始終在所在的直線上.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,半圓與的重疊部分的面積為.
(1)當(dāng)時(shí),設(shè)點(diǎn)是半圓上一點(diǎn),點(diǎn)是線段上一點(diǎn),則的最大值為_________;的最小值為________.
(2)在平移過程中,當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí),求半圓與重疊部分的面積;
(3)當(dāng)為何值時(shí),半圓與的邊所在的直線相切?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將線段 AB 先向右平移 5 個(gè)單位,再將所得線段繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°,得到線段 AB ,則點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn) B′的坐標(biāo)是( )
A.(-4 , 1)B.( -1, 2)C.(4 ,- 1)D.(1 ,- 2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是過點(diǎn)A的直線,DB⊥MN于點(diǎn)B.
(1)如圖,求證:BD+AB=BC;
(2)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠BCD=30°,BD=時(shí),求BC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長,中華漢字,寓意深廣.為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某中學(xué)德育處組織了一次全校2000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽.為了解本次大賽的成績,學(xué)校德育處隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
成績x(分)分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | 0.2 |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x<100 | 50 | n |
頻數(shù)分布直方圖
根據(jù)所給的信息,回答下列問題:
(1)m=________;n=________;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會(huì)落在________分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)為“優(yōu)”等,請你估計(jì)該校參加本次比賽的2000名學(xué)生中成績是“優(yōu)”等的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小蕓設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:⊙O 及⊙O 外一點(diǎn) P.
求作:⊙O 的一條切線,使這條切線經(jīng)過點(diǎn) P.
作法:①連接 OP,作 OP 的垂直平分線 l,交 OP 于點(diǎn) A;
②以 A 為圓心,AO 為半徑作圓,交⊙O 于點(diǎn) M;
③作直線 PM,則直線 PM 即為⊙O 的切線.
根據(jù)小蕓設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明:
證明:連接 OM,
由作圖可知,A 為 OP 中點(diǎn),
∴OP 為⊙A 直徑,
∴∠ =90°( )(填推理的依據(jù))
即 OM⊥PM.
又∵點(diǎn) M 在⊙O 上,
∴PM 是⊙O 的切線.( )(填推理的依據(jù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊中,D為邊AC的延長線上一點(diǎn)(),平移線段BC,使點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D,得到線段ED,M為ED的中點(diǎn),過點(diǎn)M作ED的垂線,交BC于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G.
(1)依題意補(bǔ)全圖形;
(2)求證:;
(3)連接DF并延長交AB于點(diǎn)H,用等式表示線段AH與CG的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知二次函數(shù)(為常數(shù),)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn),函數(shù)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.直線的解析式為
求二次函數(shù)的解析式;
直線沿軸向右平移,得直線,與線段相交于點(diǎn),與軸下方的拋物線相交于點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),把沿直線折疊,當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線上點(diǎn)時(shí)(圖求直線的解析式;
在的條件下,與軸交于點(diǎn),把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,P為上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為等腰三角形時(shí),求符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方形的中心為O,連接AO,如果AB=4,AO=6,那么AC=_____.
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