Question

如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A、C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為（6，4），E為AB的中點，過點D（8，0）和點E的直線分別與BC、y軸交于點F、G．
（1）求直線DE的函數(shù)關系式；
（2）函數(shù)y=mx-2的圖象經(jīng)過點F且與x軸交于點H，求出點F的坐標和m值；
（3）在（2）的條件下，求出四邊形OHFG的面積．

Answer 1

分析：（1）由頂點B的坐標為（6，4），E為AB的中點，可求得點E的坐標，又由過點D（8，0），利用待定系數(shù)法即可求得直線DE的函數(shù)關系式；
（2）由（1）可求得點F的坐標，又由函數(shù)y=mx-2的圖象經(jīng)過點F，利用待定系數(shù)法即可求得m值；
（3）首先可求得點H與G的坐標，即可求得CG，OC，CF，OH的長，然后由S_{四邊形OHFG}=S_梯形OHFC+S_△CFG，求得答案．

解答：解：（1）設直線DE的解析式為：y=kx+b，
∵頂點B的坐標為（6，4），E為AB的中點，
∴點E的坐標為：（6，2），
∵D（8，0），
∴

6k+b=2 8k+b=0

，
解得：

k=-1 b=8

，
∴直線DE的函數(shù)關系式為：y=-x+8；

（2）∵點F的縱坐標為4，且點F在直線DE上，
∴-x+8=4，
解得：x=4，
∴點F的坐標為；（4，4）；
∵函數(shù)y=mx-2的圖象經(jīng)過點F，
∴4m-2=4，
解得：m=

3

2

；

（3）由（2）得：直線FH的解析式為：y=

3

2

x-2，
∵

3

2

x-2=0，
解得：x=

4

3

，
∴點H（

4

3

，0），
∵G是直線DE與y軸的交點，
∴點G（0，8），
∴OH=

4

3

，CF=4，OC=4，CG=OG-OC=4，
∴S_{四邊形OHFG}=S_梯形OHFC+S_△CFG=

1

2

×（

4

3

+4）×4+

1

2

×4×4=18

2

3

．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、中點坐標的求解方法以及多邊形的面積問題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．