Question

實(shí)驗(yàn)與探究：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)應(yīng)的邊分別用a、b、c表示．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．易證：a²=b（b+c）
（2）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．本題第一問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)于任意的倍角△ABC，如圖2，∠A=2∠B，關(guān)系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結(jié)論．
歸納與發(fā)現(xiàn)
由以上的證明，可以得到關(guān)于倍角三角形的一個(gè)結(jié)論：一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于另一個(gè)角的兩倍，2倍角所對(duì)邊的平方等于一倍角所對(duì)邊乘該邊與第三邊的和．
運(yùn)用與推廣
（3）（2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8．則BC=

C

（A）7

2

   （B）10   （C）

105

    （D）7

3

（4）是否存在一個(gè)三邊長恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的△ABC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由∠A=2∠B，且∠A=60°，可求得∠C=90°，由勾股定理與c=2b，即可證得：a²=b（b+c）；
（2）由圖可知△ACD與△BCD是等腰三角形，AC=AD=b，BC=CD=a，BD=b+c，又由△ACD∽△CBD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案；
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論可直接得出答案；
（4）由題意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，應(yīng)有a²=b（b+c），且a＞b；然后分別從a＞c＞b，c＞a＞b，a＞b＞c去分析，即可求得符合要求的值．

解答：（1）證明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴a²+b²=c²，c=2b，
∴a²=c²-b²=（2b）²-b²=3b²=b²+2b²=b²+bc=b（b+c）；

（2）關(guān)系式a²=b（b+c）仍然成立．
證明：如圖2所示，
∵△ACD為等腰三角形，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC為△ACD的一個(gè)外角，
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠D，
∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
∴BD=AB+AD=b+c，
又∵∠D為△ACD與△CBD的一個(gè)公共角，
∴△ACD∽△CBD．
∴

CD

BD

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

，
∴a²=b（b+c）；

（3）解：∵在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8，
∴BC=

AB•(AB+AC)

=

7×(7+8)

=

105

．
故選C；

（4）存在．
證明：若△ABC是倍角三角形，
∵∠A=2∠B，
∴a²=b（b+c），且a＞b．
當(dāng)a＞c＞b時(shí)，設(shè)a=n+1，c=n，b=n-1，（n為大于1的正整數(shù)）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），
解得：n=5，
∴a=6，b=4，c=5，可以證明這個(gè)三角形中，∠A=2∠B；
當(dāng)c＞a＞b或a＞b＞c時(shí)，
均不存在三條邊長恰為三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的倍角三角形．
∴邊長為4，5，6的三角形為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理，本題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的相關(guān)知識(shí)，難度適中．