Question

（2012•鹽城二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線AB：y=-

3

4

x+3分別與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、A同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒1個(gè)點(diǎn)位長度的速度沿OA方向向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速度沿AO返向；點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B-O方向向O點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在某一時(shí)刻將△APQ沿PQ翻折，使點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)C處，求此時(shí)△APQ的面積；
（3）若D為y軸上一點(diǎn)，在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）如圖2，在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點(diǎn)E，交折線QB-BO-OP于點(diǎn)F．問：是否存在某一時(shí)刻t，使EF恰好經(jīng)過原點(diǎn)O？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別求得直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)將△APQ沿PQ翻折，使點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)C處時(shí)，∠AQP=90°，然后利用相似三角形求得線段AQ和線段PQ的長即可求得三角形APQ的面積；
（3）①若PD∥BQ，則梯形PQBD是等腰梯形．過D、P分分別作DM⊥AB于M，PN⊥AB于N．構(gòu)造矩形PNMD．則有BM=QN，由PD∥BQ，得

OE

OB

=

OP

OA

，從而求得MB的值；在直角三角形APN中根據(jù)AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)就迎刃而解了；
②若PQ∥BD，則等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn)．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t．再有邊角關(guān)系求得BQ=AQ=

1

2

AD，解得t值；②②當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ²=QG²+OG²，列出關(guān)于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）令y=-

3

4

x+3=0，解得x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）；
令x=0，得y=-

3

4

×0+3=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，3）；

（2）由題意知，此時(shí)△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
此時(shí)△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4-t
∴

AQ

AO

=

AP

AB

=

QP

OB

即：

t

4

=

4-t

5

=

QP

3

解得：AQ=t=

16

9

，QP=

4

3

，
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PQ=

1

2

×

16

9

×

4

3

=

32

27

；

（3）存在，有以下兩種情況
①若PE∥BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE
過E、P分分別作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
則有BM=QN，由PE∥BQ，
得

OE

OB

=

OP

OA

，
∴BM=

3

5

（3-

3

4

t）；
又∵AP=4-t，
∴AN=

4

5

（4-t），
∴QN=

4

5

（4-t）-t，
由BM=QN，得

3

5

（3-

3

4

t）=

4

5

（4-t）-t
∴t=

28

27

，
∴E（0，

7

9

）；
②若PQ∥BE，則等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn)
由題意知AP=

4

5

AQ=

4

5

t
∵OP+AP=OA，
∴t+

4

5

t=4
∴t=

20

9

，
∴OE=

5

3

，
∴點(diǎn)E（0，-

5

3

）
由①②得E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

7

9

）或（0，-

5

3

）．

（4）連接OQ，并過點(diǎn)Q作QG⊥y軸y于G．
①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=

1

2

AB
∴t=

5

2

當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)B向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，即5＜t＜8時(shí)，△OPQ始終是等腰直角三角形，那么線段PQ的垂直平分線EF必定都經(jīng)過原點(diǎn)O，所以5＜t＜8時(shí)也符合條件．
綜上①、②、③所述，所有符合條件的t的值是t=

5

2

5≤t＜8；
②連接OQ，并過點(diǎn)Q作QG⊥y軸y于G．
當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=

4

5

（5-t），OG=3-

3

5

（5-t）
在Rt△OGQ中，OQ²=QG²+OG²
即（8-t）²=[

4

5

（5-t）]2+[3-

3

5

（5-t）]²
∴t=5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，弄清相關(guān)線段的大小和比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．