【答案】
分析:(1)根據(jù)已知條件構(gòu)建平行四邊形ADFE:延長(zhǎng)AN到F,使MF=AM,連接DF、EF,由平行四邊形的性質(zhì)推出∠DAE+∠AEF=180°,再加上已知條件∠BAC+∠DAE=180°,不難知道∠BAC=∠AEF;而后根據(jù)已知線段間的比例關(guān)系,證明△ABC∽△EAF;最后利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明即可;
(2)選取①時(shí),解題原理同(2);選、跁r(shí),先構(gòu)建兩個(gè)相似三角形△ABC與△AEF:如圖,延長(zhǎng)DA到F,使AF=AD,連接EF;然后證明兩個(gè)三角形相似;最后由中位線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明結(jié)論;
解答:解:(1)∠ANB+∠BAE=180°.(1分)
證明:(法一)如圖,延長(zhǎng)AN到F,使MF=AM,連接DF、EF.(2分)
∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn),∴DM=ME,∴四邊形ADFE是平行四邊形,(3分)
∴AD∥EF,AD=EF,∴∠DAE+∠AEF=180°,
∵∠BAC+∠DAE=180°,
∴∠BAC=∠AEF,(4分)
∵AB=kAE,AC=kAD,
∴
,∴
,(6分)
∴△ABC∽△EAF∴∠B=∠EAF,(8分)
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°,
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°,
即∠ANB+∠BAE=180°;(10分)
(法二)如圖,延長(zhǎng)DA到F,使AF=AD,連接EF.(2分)
∵∠BAC+∠DAE=180°,∠DAE+∠EAF=180°,
∴∠BAC=∠EAF,(3分)∵AB=kAE,AC=kAD,
∴
,∴
,(4分)
∴△ABC∽△AEF,(5分)
∴∠B=∠AEF,(6分)
∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn),∴DM=ME,
又∵AF=AD,∴AM是△DEF的中位線,
∴AM∥EF,(7分)
∴∠NAE=∠AEF,
∴∠B=∠NAE,(8分)
∵∠ANB+∠B+∠BAN=180°,
∴∠ANB+∠NAE+∠BAN=180°,
即∠ANB+∠BAE=180°.(10分)
(2)不變化.如圖(僅供參考),∠ANB=∠BAE.(12分)
選。á。,如圖.
證明:延長(zhǎng)AM到F,使MF=AM,連接DF、EF.
∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn),
∴DM=ME,
∴四邊形ADFE是平行四邊形,(4分)
∴AD∥FE,AD=EF,∴∠DAE+∠AEF=180°,
∵∠BAC+∠DAE=180°,∴∠BAC=∠AEF,(6分)
∵AB=kAE,AC=kAD,k=1,∴AB=AE,AC=AD,
∴AC=EF,(7分)∴△ABC≌△EAF,∴∠B=∠EAF,(8分)
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°,∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°,
即∠ANB+∠BAE=180°.(10分)
選取(ⅱ),如圖.
證明:∵AB=AC,∴∠B=
(180°-∠BAC),(3分)
∵∠BAC+∠DAE=180°,∴∠DAE=180°-∠BAC,
∴∠B=
∠DAE,∵AB=kAE,AC=kAD,
∴AE=AD,∵AM是△ADE的中線,AB=AC,
∴∠EAM=
∠DAE,∴∠B=∠EAM,(4分)
∵∠ANB+∠B+∠BAM=180°,∴∠ANB+∠EAM+∠BAM=180°,
即∠ANB+∠BAE=180°.(5分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),三角形的中位線定理.