Question

如圖，在△ABC中，AB=8，BC=16，AC=12，AD∥BC，點E在AC邊上，∠DEA=∠B，DE的延長線交BC邊于F．
（1）找出圖中的相似三角形，并證明；
（2）求DF的長；
（3）設(shè)DE=x，BF=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

解：（1）△ABC∽△FEC∽△DEA．（1分）
證明如下：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠C，（1分）
又∵∠FEC=∠DEA=∠B，
∴△ABC∽△FEC∽△DEA；（1分）

（2）過點A作AG∥DF，AG與BC相交于點G，
∴∠GAC=∠DEA．（1分）
∵∠DEA=∠B，
∴∠GAC=∠B，
∴△GAC∽△ABC，（1分）
∴AG：AB=AC：BC，
∴AG：8=12：16，
∴AG=6．（1分）
∵AD∥BC，AG∥DF，
∴四邊形AGFD是平行四邊形，
∴DF=AG=6；（1分）

（3）∵DE=x，
∴EF=6-x，
由△ABC∽△FEC，CF：EF=AC：AB，
CF：（6-x）=12：8，（1分）
CF=，BF=BC-CF=16-，（1分）
（0＜x＜6）．（1分）
分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定定理：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，可知圖中的相似三角形有：△ABC∽△FEC∽△DEA；
（2）作輔助線AG（過點A作AG∥DF，AG與BC相交于點G）構(gòu)建平行四邊形ADFG，由平行四邊形的對邊相等求得DF=AG=6；
（3）根據(jù)相似三角形△ABC∽△FEC的對應(yīng)邊成比例知CF：EF=AC：AB，而BF=BC-CF，所以據(jù)此可以列出關(guān)于y與x之間的函數(shù)解析式，由DE的取值范圍來確定該函數(shù)的定義域．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解答此題時，通過構(gòu)建與已知和所求的條件相關(guān)的三角形，然后證明其相似來得出線段間的比例關(guān)系．