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如圖,拋物線y=ax2+bx+數學公式(a≠0)經過A(-3,0)、C(5,0)兩點,點B為拋物線的頂點,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)動點P從點B出發(fā),沿線段BD向終點D作勻速運動,速度為每秒1個單位長度,運動時間為ts,過點P作PM⊥BD交BC于點M,過點M作MN∥BD,交拋物線于點N.
①當t為何值時,線段MN最長;
②在點P運動的過程中,是否有某一時刻,使得以O、P、M、C為頂點的四邊形為等腰梯形?若存在,求出此刻的t值;若不存在,請說明理由.
參考公式:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標是數學公式

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+與x軸交于點A(-3,0),C(5,0)

解得
∴拋物線的函數關系式為y=-x2+x+

(2)①延長NM交AC于E,
∵B為拋物線y=-x2+x+的頂點,
∴B(1,8).
∴BD=8,OD=1.
∵C(5,0),
∴CD=4.
∵PM⊥BD,BD⊥AC,
∴PM∥AC.
∴∠BPM=∠BDC=90°,∠BMP=∠BCD.
∴△BPM∽△BDC.
=
根據題意可得BP=t,
=
∴PM=t.
∵MN∥BD,PM∥AC,∠BDC=90°,
∴四邊形PMED為矩形.
∴DE=PM=t.
∴OE=OD+DE=1+t.
∴E(1+t,0).
∵點N在拋物線上,橫坐標為1+t,
∴點N的縱坐標為-(1+t)2+(1+t)+
∴NE=-(1+t)2+(1+t)+
=-t2+8.
∵PB=t,PD=ME,
∴EM=8-t.
∴MN=NE-EM=-t2+8-(8-t)
=-(t-4)2+2.
當t=4時,MN最大=2.
②存在符合條件的t值.
連接OP,如圖(2).
若四邊形OPMC是等腰梯形,只需OD=EC.
∵OD=1,DE=PM=t,
∴EC=5-(t+1).
∴5-(t+1)=1.
解得t=6.
∴當t=6時,四邊形OPMC是等腰梯形.

分析:(1)利用待定系數法直接將A(-3,0)、C(5,0)兩點代入拋物線y=ax2+bx+(a≠0)就可以求出拋物線的解析式.
(2)①延長NM交AC于E,根據拋物線的解析式就可以求出頂點坐標B,利用條件得出三角形相似,求出MP,再根據矩形的性質求出點E,點N的坐標,把MN的長度表示出來,在轉化 為頂點式就可以求出結論了.
②根據等腰梯形的性質連接PD,只要OD=CE時,就可以求出t值了.
點評:本題是一道二次函數的綜合試題,考查了二次函數的最值,待定系數法求函數的解析式,等腰梯形的判定及性質,相似三角形的判定及性質.
練習冊系列答案
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8、如圖,直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標系中可能是( 。

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1
2
,
9
8
),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點.
(1)求a值;
(2)設y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(點M在點N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(點E在點F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點的坐標,寫出一條正確的結論,并通過計算說明;
(3)設A,B兩點的橫坐標分別記為xA,xB,若在x軸上有一動點Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網兩點,試問當x為何值時,線段CD有最大值,其最大值為多少?

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(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經過A、B兩點的一個動圓,當⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標;
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C(0,-2),精英家教網與x軸交于點A、B,點A的坐標為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動點,N是線段OC上一動點,且ON=2OM,分別連接MC、MN.當△MNC的面積最大時,求點M、N的坐標;
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P,與線段AC交于點F,點D的坐標為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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