解:(1)∵拋物線y=ax
2+bx+
與x軸交于點A(-3,0),C(5,0)
∴
解得
.
∴拋物線的函數關系式為y=-
x
2+x+
.
(2)①延長NM交AC于E,
∵B為拋物線y=-
x
2+x+
的頂點,
∴B(1,8).
∴BD=8,OD=1.
∵C(5,0),
∴CD=4.
∵PM⊥BD,BD⊥AC,
∴PM∥AC.
∴∠BPM=∠BDC=90°,∠BMP=∠BCD.
∴△BPM∽△BDC.
∴
=
.
根據題意可得BP=t,
∴
=
.
∴PM=
t.
∵MN∥BD,PM∥AC,∠BDC=90°,
∴四邊形PMED為矩形.
∴DE=PM=
t.
∴OE=OD+DE=1+
t.
∴E(1+
t,0).
∵點N在拋物線上,橫坐標為1+
t,
∴點N的縱坐標為-
(1+
t)
2+(1+
t)+
.
∴NE=-
(1+
t)
2+(1+
t)+
=-
t
2+8.
∵PB=t,PD=ME,
∴EM=8-t.
∴MN=NE-EM=-
t
2+8-(8-t)
=-
(t-4)
2+2.
當t=4時,MN
最大=2.
②存在符合條件的t值.
連接OP,如圖(2).
若四邊形OPMC是等腰梯形,只需OD=EC.
∵OD=1,DE=PM=
t,
∴EC=5-(
t+1).
∴5-(
t+1)=1.
解得t=6.
∴當t=6時,四邊形OPMC是等腰梯形.
分析:(1)利用待定系數法直接將A(-3,0)、C(5,0)兩點代入拋物線y=ax
2+bx+
(a≠0)就可以求出拋物線的解析式.
(2)①延長NM交AC于E,根據拋物線的解析式就可以求出頂點坐標B,利用條件得出三角形相似,求出MP,再根據矩形的性質求出點E,點N的坐標,把MN的長度表示出來,在轉化 為頂點式就可以求出結論了.
②根據等腰梯形的性質連接PD,只要OD=CE時,就可以求出t值了.
點評:本題是一道二次函數的綜合試題,考查了二次函數的最值,待定系數法求函數的解析式,等腰梯形的判定及性質,相似三角形的判定及性質.