Question

【題目】如圖1，在 中，以 為直徑的⊙O，交 于點(diǎn) ，且 ，交線段 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，連接 ，過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) ．

（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）在 的內(nèi)部作 ，使 ， 分別交于 、 于點(diǎn) 、 ，交⊙O于點(diǎn) ，若 ，求 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BA 交BA的延長(zhǎng)線于H，

∵ ， ，
∴DF為BHC的中位線，CH=2DF，
連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵BD=CD，
∴ABC是等腰三角形∴AB=AC，
∵∠AEB =90°=∠AHC ，∠BAE =∠CAH
∴AEB≌AHC
∴CH=BE ，
（Ⅱ）解：連接DA、DO、DE、BM，
∴∠ADE=∠ABE=∠BDM
∵ , BN= ,
∴由(Ⅰ)可知, BE=2DF= ,
∵⊿CEB為直角三角形, BD=CD,
∴DE=DB , 又∠ADE=∠BDN ∠AED=∠DBN
∴ADE≌NDB
∴AD=DN BN=AE=
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠AEB =90° BE=2DF= , AE= . AB=3
∵ AD=DN ∴ FN=AF= . DF= ∴DN=3
在ADN與BMN中,可證ADN∽MBN,得出ANNB=MNDN
∴MN=2
在DBG與DMB中,
∵DC=DE=DB
∴∠DMB=∠DBE=∠DEB, ∠BDG=∠BDM,
可證DBG∽DMB,
得出DB2=DG×DM ,FB=2
∴DB=6, DM=DN+MN=3 +2 =5
∴36=DG×5 ， DG= ，
∴ MG= .
【解析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分析題目中條件，找足AEB和AHC全等、ADE和NDB全等，和ADN∽MBN、DBG∽DMB的條件，推導(dǎo)求解.
【考點(diǎn)精析】掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．