(2005•臺州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),⊙C與y軸相切于D點,與x軸相交于A(2,0)、B(8,0)兩點,圓心C在第四象限.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)連接BC并延長交⊙C于另一點E,若線段BE上有一點P,使得AB2=BP•BE,能否推出AP⊥BE?請給出你的結(jié)論,并說明理由;
(3)在直線BE上是否存在點Q,使得AQ2=BQ•EQ?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,也請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意,根據(jù)圓心的性質(zhì),可得C的AB的中垂線上,易得C的橫坐標(biāo)為5;進而可得圓的半徑為5;利用勾股定理可得其縱坐標(biāo)為-4;即可得C的坐標(biāo);
(2)連接AE,由圓周角定理可得∠BAE=90°,進而可得AB2=BP•BE,即,可得△ABE∽△PBA;進而可得∠BAE=90°,即AP⊥BE;
(3)分三種情況討論,根據(jù)相似三角形性質(zhì)、切割線定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義,易得Q到xy軸的距離,即可得Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)C(5,-4);(3分)

(2)能. (4分)
連接AE,
∵BE是⊙O的直徑,
∴∠BAE=90°,(5分)
在△ABE與△PBA中,AB2=BP•BE,即,
又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA,(7分)
∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE;(8分)

(3)分析:假設(shè)在直線EB上存在點Q,使AQ2=BQ•EQ.Q點位置有三種情況:
①若三條線段有兩條等長,則三條均等長,于是容易知點C即點Q;
②若無兩條等長,且點Q在線段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知點Q即為AQ⊥EB之垂足;
③若無兩條等長,且當(dāng)點Q在線段EB外,由條件想到切割線定理,知QA切⊙C于點A.設(shè)Q(t,y(t)),并過點Q作QR⊥x軸于點R,由相似三角形性質(zhì)、切割線定理、勾股定理、三角函數(shù)或直線解析式等可得多種解法.
解題過程:
①當(dāng)點Q1與C重合時,AQ1=Q1B=Q1E,顯然有AQ12=BQ1•EQ1,
∴Q1(5,-4)符合題意;(9分)
②當(dāng)Q2點在線段EB上,∵△ABE中,∠BAE=90°
∴點Q2為AQ2在BE上的垂足,(10分)
∴AQ2==4.8(或),
∴Q2點的橫坐標(biāo)是2+AQ2•cos∠BAQ2=2+3.84=5.84,
又由AQ2•sin∠BAQ2=2.88,
∴點Q2(5.84,-2.88),[或(,-)];(11分)
③方法一:若符合題意的點Q3在線段EB外,
則可得點Q3為過點A的⊙C的切線與直線BE在第一象限的交點.
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA,△EBA的三邊長分別為6、8、10,
故不妨設(shè)BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t,(12分)
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得,(13分)
得t=,
(注:此處也可由tan∠Q3AR=tan∠AEB=列得方程=
或由AQ32=Q3B•Q3E=Q3R2+AR2列得方程5t(10+5t)=(4t)2+(3t+6)2等等)
∴Q3點的橫坐標(biāo)為8+3t=,Q3點的縱坐標(biāo)為,
即Q3);(14分)
方法二:如上所設(shè)與添輔助線,直線BE過B(8,0),C(5,-4),
∴直線BE的解析式是y=,(12分)
設(shè)Q3(t,),過點Q3作Q3R⊥x軸于點R,
∵易證∠Q3AR=∠AEB得Rt△AQ3R∽Rt△EAB,
,即,(13分)
∴t=,進而點Q3的縱坐標(biāo)為,
∴Q3);(14分)
方法三:若符合題意的點Q3在線段EB外,連接Q3A并延長交y軸于F,
∴∠Q3AB=∠Q3EA,tan∠OAF=tan∠Q3AB=tan∠AEB=
在Rt△OAF中有OF=2×=,點F的坐標(biāo)為(0,-),
∴可得直線AF的解析式為y=x-,(12分)
又直線BE的解析式是,y=x-,(13分)
∴可得交點Q3,).   (14分)
點評:本題是一道動態(tài)解析幾何題,對學(xué)生的運動分析,數(shù)形結(jié)合的思想作了重點的考查,有一定的難度.
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