Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為8cm，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．當EF=8cm時，△AEF的面積是________cm²；當EF=7cm時，△EFC的面積是________cm²．

Answer 1

32    8
分析：把△ADF順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=AG，再求出∠EAG=∠EAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AEG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EG=EF，然后求出△AEG的面積，再根據(jù)全等三角形的面積相等解答；
設(shè)CE=x，先表示出BE，再表示出GB，即DF，然后表示出FC，在Rt△CEF中，利用勾股定理列式整理表示出CE•FC，再根據(jù)三角形的面積解答即可．
解答：解：如圖，把△ADF順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
則AF=AG，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
∵在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EG=EF，
∵EF=8cm，AB=8cm，
∴S_△AEG=×8×8=32cm²，
∴△AEF的面積是32cm²；
設(shè)CE=x，則BE=BC-CE=8-x，
∵EF=7cm，
∴DF=BG=EG-BE=7-（8-x）=x-1，
∴FC=CD-DF=8-（x-1）=9-x，
在Rt△CEF中，CE²+FC²=EF²，
即x²+（9-x）²=7²，
整理得，x²-9x+16=0，
所以，x（9-x）=16，
△EFC的面積=CE•FC=x（9-x）=×16=8cm²．
故答案為：32，8．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)圖形構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，第二問的求解比較巧妙，把一元二次方程整理出CE•FC的形式是關(guān)鍵，不需要求出CE的長度．